Cuerpo completo

En matemáticas, un cuerpo completo se define como un cuerpo equipado con una métrica y completo con respecto a esa métrica. Los ejemplos básicos incluyen los números reales, los números complejos y las valoraciones (como los números p-ádicos).

Construcciones

Números reales y complejos

Los números reales son el cuerpo con la métrica euclidiana estándar $|x-y|$ . Dado que se construye a partir de la completación de $\mathbb {Q}$ con respecto a esta métrica, es un cuerpo completo. Extendiendo los reales a su clausura, se obtiene el cuerpo $\mathbb {C}$ (ya que su grupo absoluto de Galois es $\mathbb {Z} /2$ ). En este caso, $\mathbb {C}$ también es un cuerpo completo, pero en muchos otros casos no es así.

Números p-ádicos

Los números p-ádicos se construyen a partir de $\mathbb {Q}$ usando el valor absoluto p-ádico

$v_{p}(a/b)=v_{p}(a)-v_{p}(b)$

donde $a,b\in \mathbb {Z} .$ Entonces, usando la factorización $a=p^{n}c$ donde $p$ no divide a $c,$ su valoración es el número entero $n$ . La completación de $\mathbb {Q}$ por $v_{p}$ es el cuerpo completo $\mathbb {Q} _{p}$ llamado números p-ádicos. Este es un caso en el que el cuerpo^[1] no está algebraicamente cerrado. Normalmente, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo nuevamente. Este cuerpo generalmente se denomina $\mathbb {C} _{p}.$

Cuerpo funcional de una curva

Para el cuerpo funcional $k(X)$ de una curva $X/k,$ cada punto $p\in X$ corresponde a un valor absoluto, o posición, $v_{p}$ . Dado un elemento $f\in k(X)$ expresado por una fracción $g/h,$ donde $v_{p}$ mide el orden de desvanecimiento de $g$ en $p$ menos el orden de desvanecimiento de $h$ en $p.$ Entonces, la completación de $k(X)$ en $p$ da un nuevo cuerpo. Por ejemplo, si $X=\mathbb {P} ^{1}$ en $p=[0:1],$ es el origen en el gráfico afín $x_{1}\neq 0,$ entonces la completación de $k(X)$ en $p$ es isomorfa al anillo de series de potencias $k((x)).$