Hosoedro
En geometría esférica, un hosoedro n-gonal es un teselado de una superficie esférica mediante lunas, de modo que cada luna comparte los mismos dos vértices polarmente opuestos.
| Conjunto de hosoedros n-gonales regulares | ||
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 Ejemplo de un hosoedro regular hexagonal sobre una esfera | ||
| Tipo | Poliedro regular o teselado esférico | |
| Caras | n dígonos | |
| Aristas | n | |
| Vértices | 2 | |
| Configuración de vértices | 2n | |
| Grupo de simetría | Dnh, [2,n], (*22n), orden 4n | |
| Grupo de rotación | Dn, [2,n]+, (22n), orden 2n | |
| Poliedro dual | diedro n-gonal regular | |
| Símbolo de Schläfli | {2,n} | |
| Símbolo de Wythoff | n | 2 2 | |
| Símbolo de Coxeter-Dynkin |
    | |
Un hosoedro n-gonal regular tiene símbolo de Schläfli {2, n}, y cada luna esférica tiene un ángulo interior de 2Πn radianes (en grados sexagesimales, 360n).[1][2]
Hosohedros como poliedros regulares
editarPara un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es {m, n}, el número de caras poligonales es:
Los sólidos platónicos conocidos en la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.
Al considerar los poliedros como teselados esféricos, esta restricción se puede relajar, ya que los dígonos (2-gonos) se pueden representar como lunas esféricas que tienen áreas distintas de cero.
Permitir que m = 2 hace que
y admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros. En una superficie esférica, el poliedro {2, n} se representa como n lunas contiguas, con ángulos interiores de 2Πn. Todas estas lunas esféricas comparten dos vértices comunes.
 Un hosoedro trigonal regular, {2,3}, representado como un mosaico de 3 lunas esféricas sobre una esfera. |
 Un hosoedro tetragonal regular, {2,4}, representado como un mosaico de 4 lunas esféricas sobre una esfera. |
| Espacio | Esférico | Euclídeo | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre del teselado | (Monogonal) Monógono |
Hosohedro digonal | (Triangular) Hosohedro trigonal |
(Tetragonal) Hosohedro cuadrado |
Hosohedro pentagonal | Hosoedro hexagonal | Hosoedro heptagonal | Hosoedro octogonal | Hosoedro eneagonal | Hosoedro decagonal | Hosoedro hendecagonal | Hosoedro dodecagonal | ... | Hosoedro apeirogonal |
| Imagen del teselado | 
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| Símbolo de Schläfli | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | ... | {2,∞} |
| Diagrama de Coxeter-Dynkin |
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| Caras y aristas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Vértices | 2 | ... | 2 | |||||||||||
| Configuración de vértices | 2 | 2.2 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 210 | 211 | 212 | ... | 2∞ |
Simetría caleidoscópica
editarLas caras 2n digonales en forma de lunas esféricas de un hosoedro 2n, {2,2n}, representan los dominios fundamentales de la simetría diedral en tres dimensiones: la simetría cíclica Cnv, [n], (* nn), orden 2n. Los dominios de reflexión se pueden mostrar mediante lunas de colores alternativos como imágenes en un espejo.
Bisecar cada luna en dos triángulos esféricos crea una bipirámide n-gonal, que representa el grupo diedral Dnh, orden 4n.
| Simetría (orden 2n) | Cnv, [n] | C1v, [ ] | C2v, [2] | C3v, [3] | C4v, [4] | C5v, [5] | C6v, [6] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2n-gonal hosoedro | Símbolo deSchläfli {2,2n} | {2,2} | {2,4} | {2,6} | {2,8} | {2,10} | {2,12} |
| Imagen | Dominios fundamentales en colores alternativos |
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Relación con el sólido de Steinmetz
editarEl hosoedro tetragonal es topológicamente equivalente al sólido de Steinmetz bicilíndrico, la intersección de dos cilindros en ángulos rectos.[3]
Poliedros derivados
editarEl dual del hosoedro n-gonal {2, n} es el diedro n-gonal, {n, 2}. El poliedro {2,2} es auto-dual, y es a la vez hosoedro y diedro.
Un hosoedro se puede modificar de la misma manera que los otros poliedros para producir una variación truncada. El hosoedro n-gonal truncado es un prisma n-gonal.
Hosoedro apeirogonal
editarEn el límite, el hosoedro se convierte en un hosoedro apeirogonal como una teselación bidimensional:
Hosotopos
editarLos análogos de multidimensionales en general se denominan hosotopos. Un hosotopo normal con símbolo de Schläfli {2, p, ..., q} tiene dos vértices, cada uno con una figura de vértice {p, ..., q}.
El hosotopo bidimensional, {2}, es un dígono.
Etimología
editarEl término “hosoedro” parece derivar del griego ὅσος ( hosos ) “tantos”, la idea es que un hosoedro puede tener “ 'tantas' caras como se desee”.[4] Fue introducido por Vito Caravelli en el siglo XVIII.[5]
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Coxeter, Regular polytopes, p. 12
- ↑ Abstract Regular polytopes, p. 161
- ↑ Weisstein, Eric W. «Steinmetz Solid». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- ↑ Steven Schwartzman (1 de enero de 1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. pp. 108–109. ISBN 978-0-88385-511-9. (requiere registro).
- ↑ Coxeter, H.S.M. (1974). Regular Complex Polytopes. London: Cambridge University Press. p. 20. ISBN 0-521-20125-X. «The hosohedron {2,p} (in a slightly distorted form) was named by Vito Caravelli (1724–1800) …».
Bibliografía
editar- McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), Abstract Regular Polytopes (1st edición), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0, (requiere registro).
- Coxeter, H.S.M, "Regular Polytopes" (Politopos regulares) (tercera edición), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-61480-8
Enlaces externos
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Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hosoedro.- Weisstein, Eric W. «Hosohedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
