Índice (teoría de grupos)

En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.

Introducción

^[1] Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por $\sim _{H}$ (equivalencia por la izquierda) y ${}_{H}\!\!\sim$ (equivalencia por la derecha). Se definen como:

$\forall x,y\in G:$

$x\sim _{H}y\iff \exists h\in H:y=xh\iff x^{-1}y\in H$

$\!x\,\,{}_{H}\!\!\sim y\iff \exists h\in H:y=hx\iff yx^{-1}\in H$

Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como $gH$ en el caso de $\sim _{H}$ , o bien como $Hg$ para ${}_{H}\!\!\sim$ . Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

$G:H:=G/\sim _{H}\,=\{gH:g\in G\}$

$H:G:=G/{}_{H}\!\!\sim \,=\{Hg:g\in G\}$

Definición

Sea G un grupo y sea $H\subseteq G$ un subgrupo de G. Al cardinal

$i(H,G):=|H:G|=|G:H|$

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para $i(H,G)$ son $i_{G}(H)$ o también $[G:H]$ .

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

$i(H,G)=|G|/|H|$

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.

Referencias

↑ Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalidades. Teorema de Lagrange -- IV. Índice de un subgrupo». En Cuadernos de la UNED, ed. Teoría elemental de grupos. España: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.

Datos: Q1464168

[1] Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalidades. Teorema de Lagrange -- IV. Índice de un subgrupo». En Cuadernos de la UNED, ed. Teoría elemental de grupos. España: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.

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