Cuadrado perfecto

Un cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, es un número cuya raíz cuadrada es un número natural.

Un número es un cuadrado perfecto si se puede ordenar en una figura cuadrada. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar del siguiente modo:

32 = 9

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.

Elevar 5 al cuadrado nos proporciona el área de un cuadrado de lado 5.

En álgebra, el cuadrado de un número n se expresa como n², y equivale a n × n. La operación algebraica de elevar al cuadrado un número n nos proporciona el área de un cuadrado geométrico cuyo lado mide n. Por esta razón, tal operación se conoce como elevar al cuadrado.​

Un número natural n elevado al cuadrado se puede linealizar por medio de la siguiente expresión:

$n^{2}=\sum _{i=1}^{n}{(2i-1)}$

Así, por ejemplo:

$3^{2}=\sum _{i=1}^{3}{(2i-1)}=1+3+5=9$

Con el mismo resultado que la multiplicación:

$3^{2}=3\times 3=9$

Propiedades

La fórmula general para el n-ésimo número cuadrado es n². Esta expresión es igual a la suma de los n primeros números impares, demostrable por inducción matemática, registrada en la siguiente fórmula:

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}\;(2k-1)$

$e.g.\ 5^{2}=\sum _{k=1}^{5}\;(2k-1)=1+3+5+7+9=25$

Un cuadrado par se puede expresar como la suma de dos impares consecutivos. Pues si cumple la condición cabe $P=4n^{2}$ y se plantea la ecuación:

$P=(2n^{2}+1)+(2n^{2}-1)$

Un número primo de la forma $4k+1$ se puede expresar como la suma de dos cuadrados:

$4k+1=m^{2}+n^{2}$

$e.g.\ k=4\rightarrow 17=16+1=4^{2}+1^{2};\quad k=9\rightarrow 37=6^{2}+1^{2}=36+1$

Los babilonios usaban tablas de cuadrados para la multiplicación​ aplicando la fórmula:

$ab={\frac {1}{4}}[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]$

$e.g.\ 5\times 2={\frac {1}{4}}[(5+2)^{2}-(5-2)^{2}]={\frac {49-9}{4}}={\frac {40}{4}}=10$

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4^k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

Según el último dígito del número n cuyo cuadrado se quiere calcular se puede comprobar que dicho cuadrado tendrá las siguientes propiedades:

1. Si el último dígito es 0, su cuadrado acaba en 00 y los dígitos precedentes forman un cuadrado.
2. Si el último dígito es 1 o 9, su cuadrado termina en 1 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4.
3. Si el último dígito es 2 u 8, su cuadrado termina en 4 y los dígitos precedentes forman un número par.
4. Si el último dígito es 3 o 7, su cuadrado termina en 9 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4.
5. Si el último dígito es 4 o 6, su cuadrado termina en 6 y los dígitos precedentes forman un número impar.
6. Si el último dígito es 5, su cuadrado termina en 25 y los dígitos precedentes forman un número par.
7. Por tanto, ningún cuadrado perfecto entero acaba en 2, 3, 7 ni 8.

Demostración

Algunas consideraciones iniciales a tener en cuenta son que: Cualquier número entero puede reescribirse separando las unidades del resto de cifras de la siguiente forma: $n=10a+b,\ con\ a,b\in \mathbb {Z}$ $e.g.\ n=4132=413\times 10+2$ Cualquier número par puede representarse como el producto de 2 por otro número entero (dado que cuenta con al menos un 2 en su descomposición factorial, siempre se puede sacar como factor común): $p=2k,\ con\ k\in \mathbb {Z}$ $e.g.\ p=36=2\times 18$ Cualquier número impar puede representarse como el consecutivo de un número par (al restarle una unidad, quedará un número par, que al tener al menos un 2 en su descomposición factorial, podrá a su vez sacarse como factor común): $q=2k+1,\ con\ k\in \mathbb {Z}$ $e.g.\ q=37=2\times 18+1$ El producto de cualquier número entero por un número par será par (al contar con al menos con un 2 en su descomposición factorial aportado por el factor par): $pn=2kn=2(kn),\ con\ k\in \mathbb {Z}$ $e.g.\ 16\times 33=528,\quad 34\times 16=544$ El producto de dos números impares será impar (al no contar con ningún 2 en su descomposición factorial): $i_{1}i_{2}=(2k_{1}+1)(2k_{2}+1)=4k_{1}k_{2}+2k_{1}+2k_{2}+1=2(2k_{1}k_{2}+k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ $e.g.\ 57\times 13=741$ La suma de un número par no cambia la paridad del número entero original: $n_{p}+p=2k_{1}+2k_{2}=2(k_{1}+k_{2}),\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ $n_{i}+p=(2k_{1}+1)+2k_{2}=2(k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ç $e.g.\ 12+304=316,\quad 623+52=675$ La suma de un número impar sí cambia la paridad del número entero original: $n_{p}+i=2k_{1}+2k_{2}+1=2(k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ $n_{i}+i=(2k_{1}+1)+(2k_{2}+1)=2(k_{1}+k_{2}+1),\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ $e.g.\ 212+3=215,\quad 23+17=40$ Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, se puede proceder a demostrar las propiedades enumeradas más arriba: Dado un entero acabado en 0 ($n=10a$), su cuadrado acaba en 00 y los dígitos precedentes forman un cuadrado: $n^{2}=(10a)^{2}=100a^{2}$ $e.g.\ a=3\rightarrow 30^{2}=900$ Dado un entero acabado en 1 o 9 ($n_{1}=10a+1;\ n_{2}=10a+9$), su cuadrado termina en 1 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4: $n_{1}^{2}=(10a+1)^{2}=100a^{2}+20a+1=10(10a^{2}+2a)+1=10(2(a(5a+1)))+1$ Si $a(5a+1)$ fuese par, $2(a(5a+1))=2(2k)=4k$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $a$ es par, entonces $5a+1$ será impar, y viceversa. Por lo que el resultado siempre será un número par por tratarse de un producto por un número par. $e.g.\ a=2\rightarrow 21^{2}=441=(4\times 22)\times 10+1$ $n_{2}^{2}=(10a+9)^{2}=100a^{2}+180a+81=10(10a^{2}+18a+8)+1=10(2(5a^{2}+9a+4))+1=10(2(a(5a+9)+4))+1$ De modo similar al caso anterior, si $(5a^{2}+9a+4)$ fuera par, $2(5a^{2}+9a+4)=2(2k)=4k$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $a$ es par, entonces tanto $5a^{2}$ como $9a$ serían pares por tratarse de productos con un número par, y $(5a^{2}+9a+4)$ sería la suma de tres número pares, por lo tanto su resultado sería par. Si $a$ es impar, tanto $5a^{2}$ como $9a$ serían impares por tratarse de productos entre número impares, por lo que $(5a^{2}+9a)$ sería la suma de dos números impares, lo que sería un número par, al que se sumaría 4, otro número par que no cambiaría la paridad par de la suma total. De modo que el resultado en ambas situaciones se obtendría el número par que confirma que se trata de un múltiplo de 4. $e.g.\ a=2\rightarrow 29^{2}=841=(4\times 21)\times 10+1$ Dado un entero acabado en 2 u 8 ($n_{1}=10a+2;\ n_{2}=10a+8$), su cuadrado termina en 4 y los dígitos precedentes forman un número par: $n_{1}^{2}=(10a+2)^{2}=100a^{2}+40a+4=10(10a^{2}+4a)+4=10(2(5a^{2}+2a))+4$ $e.g.\ a=7\rightarrow 72^{2}=5184=(2\times 259)\times 10+4$ $n_{2}^{2}=(10a+8)^{2}=100a^{2}+160a+64=10(10a^{2}+16a+6)+4=10(2(5a^{2}+8a+3))+4$ $e.g.\ a=7\rightarrow 78^{2}=6084=(2\times 304)\times 10+4$ Dado un entero acabado en 3 o 7 ($n_{1}=10a+3;\ n_{2}=10a+7$), su cuadrado termina en 9 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4: $n_{1}^{2}=(10a+3)^{2}=100a^{2}+60a+9=10(10a^{2}+6a)+9=10(2(5a^{2}+3a))+9$ De forma similar a las vistas anteriormente, si $a(5a^{2}+3a)$ fuese par, $2(5a^{2}+3)=2(2k)=4k$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $a$ es par, entonces $5a^{2}+3a$ será la suma de dos números pares, que da un número par. Si $a$ es un número impar, $5a^{2}+3a$ será la suma de dos números impares, que da un número par. Por lo que el resultado final siempre será un múltiplo de 4. $a=5\rightarrow 53^{2}=2809=(4\times 70)\times 10+9$ $n_{2}^{2}=(10a+7)^{2}=100a^{2}+140a+49=10(10a^{2}+14a+4)+9=10(2(5a^{2}+7a+2))+9$ Igualmente, si $a(5a^{2}+7a+2)$ fuese par, $2(5a^{2}+7a+2)=2(2k)=4k$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si $a$ es par, entonces $5a^{2}+7a+3$ será la suma de tres números pares, que da un número par. Si $a$ es un número impar, $5a^{2}+7a$ será la suma de dos números impares, que da un número par, y a este se sumaría otro número par que no cambiaría la paridad del resultado. Por lo que nuevamente se comprueba que al final se obtendrá un múltiplo de 4. $e.g.\ a=5\rightarrow 57^{2}=3249=(4\times 81)\times 10+9$ Dado un entero acabado en 4 o 6 ($n_{1}=10a+4;\ n_{2}=10a+6$), su cuadrado termina en 6 y los dígitos precedentes forman un número impar: $n_{1}^{2}=(10a+4)^{2}=100a^{2}+80a+16=10(10a^{2}+8a+1)+6=10(2(5a^{2}+4a)+1)+6$ $e.g.\ a=4\rightarrow 44^{2}=1936=(2\times 81+1)\times 10+6$ $n_{2}^{2}=(10a+6)^{2}=100a^{2}+120a+36=10(10a^{2}+12a+3)+6=10(2(5a^{2}+6a+1)+1)+6$ $e.g.\ a=4\rightarrow 46^{2}=2116=(2\times 105+1)\times 10+6$ Dado un entero acabado en 5 ($n=10a+5$), su cuadrado termina en 25 y los dígitos precedentes forman un número par: $n^{2}=(10a+5)^{2}=100a^{2}+100a+25=100(a^{2}+a)+25=100(a(a+1))+25$ Al tratarse el factor $a(a+1)$ del producto de un número y su consecutivo, siempre se tratará del producto de un número par por un número impar, cuyo resultado es otro número par. $e.g.\ a=8\rightarrow 85^{2}=7225=(8\times 9)\times 100+25$

Ejemplos

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25

La cantidad de factores (divisores) de un número cuadrado perfecto es siempre impar. O dicho de otro modo, se cumple que para todo número natural que no es cuadrado perfecto, la cantidad de sus factores es un número par.

Todo número natural se puede descomponer en factores primos y sus correspondientes exponentes: $N=p_{1}^{a}.p_{2}^{b}.p_{3}^{c}...$ ,

donde N es un número natural, $p_{1},p_{2},...$ son números primos y a,b,c... sus correspondientes exponentes. Dado que todos los posibles divisores de N son una combinación de este producto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b y c=0,1,2,...c, la cantidad de divisores de N es:

n = (a+1).(b+1).(c+1)... donde n es la cantidad de factores o divisores de cualquier número natural.

Puesto que en un número cuadrado perfecto los exponentes a, b, c, ... son números pares, todos los factores de n serán impares y por tanto el producto también es un número impar. Esto puede comprobarse revisando el Anexo:Tabla de divisores

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

0² = 0 ((sucesión A000290 en OEIS))

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Cuadrados siguientes y anteriores a otro

Puede calcularse un cuadrado a partir del anterior o del anterior cuadrado par/impar respecto de uno dado.

• La distancia entre un cuadrado y el siguiente, resulta de sumar al cuadrado primero, 2 veces el lado del siguiente y restarle 1: Si para 4² = 16, para 5² = 4² + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.

Ejemplos:

cuadrado 0, calcular cuadrado 1: 00 + (2 * 1) - 1) = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01

cuadrado 1, calcular cuadrado 2: 01 + (2 * 2) - 1) = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04

cuadrado 2, calcular cuadrado 3: 04 + (2 * 3) - 1) = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09

cuadrado 3, calcular cuadrado 4: 09 + (2 * 4) - 1) = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16

cuadrado 4, calcular cuadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1) = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25

cuadrado 5, calcular cuadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1) = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36

cuadrado 6, calcular cuadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1) = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49

Otra manera de calcular la distancia es teniendo en cuenta la siguiente propiedad: La diferencia entre cada número cuadrado y el consecutivo(si se comienza con el 0) son todos los números impares, en orden ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

• La distancia entre un cuadrado y 2 más adelante, resulta de sumar al cuadrado primero, 4 veces el (lado deseado -1): Si para 4² = 16, para 6² = 4² + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Ejemplos:

cuadrado 0, calcular cuadrado 2: 00 + (4 * (2 - 1) = 00 + 04 = 04

cuadrado 2, calcular cuadrado 4: 04 + (4 * (4 - 1) = 04 + 12 = 16

cuadrado 4, calcular cuadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1) = 16 + 20 = 36

cuadrado 6, calcular cuadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1) = 36 + 28 = 64

---

cuadrado 1, calcular cuadrado 3: 01 + (4 * (3 - 1) = 01 + 08 = 09

cuadrado 3, calcular cuadrado 5: 09 + (4 * (5 - 1) = 09 + 16 = 25

cuadrado 5, calcular cuadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49

Ambos casos resultan de interés con números muy grandes, para hallar en bucles el siguiente cuadrado o el siguiente cuadrado de lado par/impar, especialmente en computación donde las sumas son mucho menos costosas que las multiplicaciones y las multiplicaciones por potencias de 2 pueden ser realizadas con instrucciones de desplazamiento de bits. A su vez las multiplicaciones ('2 * x' o por '4 * x' según el caso), dentro de un bucle puede mantenerse como una suma si se guarda el valor previo de suma. Fíjese como en ambos casos a la derecha del todo, el siguiente cuadrado, para ambos casos se resuelven con sumas.

La operación a la inversa es fácilmente deducible, es decir hallar el cuadrado anterior a otro dado.

• La distancia entre un cuadrado y el anterior, resulta de restar al cuadrado primero, 2 veces el lado actual y sumarle 1: Si para 6² = 36, para 5² = 6² - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25

• La distancia entre un cuadrado y 2 más atrás, resulta de restar al cuadrado, 4 veces el (lado actual -1): Si para 6² = 36, para 4² = 6² - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16

Cuadrados como sumas

El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 ($n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$). Por ejemplo, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 4² es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Es más fácil así:157²=150² + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. Es el primer sumando y los demás son más fácil de encontrar,303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos números triangulares consecutivos. La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.

Números cuadrados pares e impares

El cuadrado de un número par siempre es par (de hecho es divisible por 4), ya que (2n)² = 4n².

El cuadrado de un número impar siempre es impar, ya que (2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

De esto se sigue que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto par siempre es par, y la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto impar siempre es impar. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (véase raíz cuadrada de 2).

Suma de los primeros n cuadrados

Para los primeros cinco cuadrados perfectos

$\sum _{k=1}^{5}\;k^{2}=1+4+9+16+25={\frac {5(5+1)(2\times 5+1)}{6}}$

Generalizando para los primeros n cuadrados perfectos resulta la suma

$S_{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

​

Construcción de cuadrados perfectos

• El producto de dos pares consecutivos aumentado en 1 es cuadrado perfecto

$(2n)(2n+2)+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}$

.

Ejemplo: 52·54 + 1 = 2809, cuadrado de 53.​

• El producto de dos impares consecutivos más 1 es un cuadrado perfecto.

$(2n-1)(2n+1)+1=4n^{2}-1+1=4n^{2}$

Por ejemplo, 95·97 + 1 = 9216. En los dos casos hallamos el cuadrado de la media aritmética de los factores.

• El producto de cuatro enteros consecutivos aumentado en 1 es un cuadrado perfecto.$(n-1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n^{2}+n-1)^{2}$

​ Por ejemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cuadrado de 209.

• El producto de un múltiplo de un número por el múltiplo transconsecutivo del mismo más el cuadrado del generador es cuadrado perfecto.

$kn[(k+2)n]+n^{2}=n^{2}(k+1)^{2}$

Por ejemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Luego 21·35 + 49 = 784, cuadrado de 28.​

Véase también

• Potenciación
• Raíz cuadrada
• Ecuación de segundo grado
• Conjetura de Legendre
• Paradoja de Galileo
• Trinomio cuadrado perfecto

Bibliografía

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
• Weisstein, Eric W. «Square Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Enlaces externos

• Suma de cuatro cuadrados Aplicación web que descompone un número natural en la suma de hasta cuatro cuadrados.

• Datos: Q50705
• Multimedia: Square numbers / Q50705