Discusión:Número natural

Error en el esquema

Según el esquema de conjuntos del final del artículo, los naturales se dividen en primos y compuestos. Hay que tener en cuenta que el 1 no es ni primo ni compuesto, por la cual cosa esta división es erronea y debería ser modificada.— El comentario anterior sin firmar es obra de Penyeta~eswiki (disc. • contribs • bloq). 01:34 19 jun 2010‎

Guerra de versiones

He estado leyendo el historial de este artículo desde hace mucho tiempo. Lo que está pasando aquí es que hay una guerra de versiones, que si el cero es natural o no... quiero recalcar que los números TODOS son abstractos, el símbolo, trazo, glifo o dibujito en forma de óvalo "0" es sólo eso, y SIEMPRE representa un elemento tal que 0 + A = A con su respectiva definición de +. por ejemplo

• $0={\overline {0}}$
• $0=\left(0,0\right)$
• $0=\left\{\right\}=\emptyset$
• $0=\left[{\begin{matrix}0&&0&&0\\0&&0&&0\\0&&0&&0\\\end{matrix}}\right]$
• $0=\bot \in \mathbb {B}$

Todas las anteriores son válidas.

La razón más importante para definir a 0 como natural es porque las construcciones formales de números enteros, racionales, reales y complejos dependen directa o indirectamente de la definición de los naturales.

Se que es muy dificil para muchos entender que los números NO son sólo símbolos, sino que son objetos que existen por si mismos. Inclusive SIN un símbolo, glifo, trazo, o como quieran llamarle.

Regresando a la notación y definición de los naturales:

• $0=\emptyset$
• $n^{+}=n\cup \left\{n\right\}$

Sus relaciones:

• $a\leq b\Leftrightarrow a\subseteq b$
• $a=b\Leftrightarrow a\subseteq b\wedge b\subseteq a$

Y sus operaciones:

• $a+b^{+}=\left(a+b\right)^{+}$
• $a\times b^{+}=(a\times b)+a$

No se necesita nada más. Es evidente que se relaciona perfectamente la cardinalidad de estos conjuntos con los símbolos a los que estamos acostumbrados, cumple con todas las leyes de los números naturales sin tener que utilizar algún axioma y lo más importante de todo: NO se definió a partir de dibujitos, sino de una estructura matemática básica que es el conjunto.

• $\{\}=0$
• $\{\{\}\}=1$
• $\{\{\},\{\{\}\}\}=2$
• $\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}=3$
• $\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}=4$

Por último, recalco que el contenido debe ser neutral --kn 08:13 15 oct 2006 (CEST)

Historia

me gustaria saber donde está la historia de los numeros naturales y enteros

Firmado: FURBY

Cardinales infinitos

No estoy de acuerdo con la frase "que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto", pues esta sugiere que no hay conjuntos infinitos, ya que a hablar de que los naturales son los números que sirven para contar los elementos de un conjunto está diciendo que SOLO hay conjuntos finitos. Una frase más acertada sería, a mi modo de ver: "que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto FINITO".

Firmado: Matemático graduado.

No estoy de acuerdo con lo de "conjunto finito". Me explico, si hay infinitos numeros naturales (y eso se deduce del último axioma de Peano, del principio de inducción matemática) entonces los números naturales se pueden usar para contar los elementos de un conjunto INFINITO. Entonces la frase "que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto" sugiere lo que tiene que sugerir que se pueden usar para contar los elementos de un conjunto INFINITO O FINITO.

Firmado: anónimo

Discrepo con los dos parcialmente, es verdad que hay conjuntos en los que no se pueden enumerar sus elementos (basta con pensar en ℝ). Efectivamente también hay conjuntos con infinitos elemetos numerables (el propio ℕ). No obstante, no se puede hacer una biyección entre todos los tipos de conjuntos y ℕ (que es la caracterización auténtica de conjunto numerable); sólo se puede hacer eso en conjuntos finitos e infinito-numerables.--DavosMat (discusión) 11:45 14 ago 2013 (UTC)

Está escrito más arriba que los números son objetos que existen por sí mismos, más allá de sus representaciones gráficas. No sé si son objetos, pero sí creo que no existen por sí mismos. ¿Existían antes del Big Bang? Si no es así, ¿cómo se crearon? Si lo es, ¿para qué servían antes de que hubiera nada que contar? Creo que los números son conceptos abstractos creados por la inteligencia; la nuestra, a falta de otra. --85.84.57.238 (discusión) 11:35 28 may 2017 (UTC)

Matemática sin sentido

Creo que esta parte:

Si S es un subconjunto de los números naturales tal que 0 está en S si n está en S entonces n+1 está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales

no tiene sentido matemático. ¿Alguien me lo podría explicar? Aunque estoy casi seguro de que no tiene sentido porque comienza afirmando que S es subconjunto de $\mathbb {N}$ para finalmente "deducir" que S ES (???) $\mathbb {N}$. No lo quito ahora mismo porque está así hace un año y nadie ha dicho nada. Tampoco puedo publicar esta consulta en la página de discución del usuario porque no está registrado y parece que no suele contestar. Voy a tomar un plazo de precaución de un mes y si nadie se opone lo quitaré. Saludos --Javier Jelovcan 05:29 13 mar, 2005 (CET)

Verdaderamente el chaval que preguntó eso está equivocado, pero como no aparece tampoco mucho no tiene sentido explicárselo. En resumen, el 'axioma de inducción' (que es por lo que pregunta) tiene pleno sentido y hay que dejarlo.--DavosMat (discusión) 11:49 14 ago 2013 (UTC)

Solucion al problema de la falta de sentido

Tiene sentido. Subconjunto de un conjunto es aquel conjunto que todos sus elementos pertenecen a ese conjunto, luego, en particular, un conjunto es subconjunto de si mismo. Un subconjunto propio es un subconjunto que no es igual al conjunto porque hay algun elemento del conjunto que no pertenece al subconjunto propio. Simplemente S no es un subconjunto propio de los naturales; es decir, S es el conjunto de los naturales.— El comentario anterior sin firmar es obra de 80.58.39.172 (disc. • contribs • bloq). 23:07 5 abr 2005‎

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Creo que se refiere a la definición de un homomorfismo. Tenemos dos condiciones:

• 1ª 0 está en S
• 2ª si n está en S entonces n+1 está en S

Por la 1ª ya tendríamos que S={0}, por la segunda: como n=0 está en S entonces n(=0)+1=1 está en S, luego S={0,1}; como n=1 está en S n+1=2 está en S, S={0,1,2}; y así ad infinitum.--S80236g 03:02 7 ago, 2005 (CEST)

Ninguna de las dos condiciones impide que 1,5 pertenezca a S *— El comentario anterior sin firmar es obra de Jcg-2010 (disc. • contribs • bloq). 01:45 14 sep 2014‎

Es perfectamente correcto. Se trata del conocidísimo "Principio de Inducción", una de las herramiantas fundamentales de la Matemática. Como curiosidad, decir que puede deducirse del Axioma de Elección, aunque (no estoy del todo seguro de ello ahora mismo) también del Axioma del Infinito.

La definición del homomorfismo a la que hace referencia S80236g es válida precisamente gracias a la existencia del Principio de Inducción. Es éste el que nos asegura que esa regla nos permite construir una aplicación definida sobre el conjunto de los números naturales.

Deduzco que Javier Jelovcan (espero que no se moleste, porque no es una crítica, sino que lo cito como ejemplo de lo que creo que debe hacerse, esto es, usar la página de discusión del artículo para consultar sobre aquello de lo que no se está seguro) no es estudiante de Matemáticas, porque es de las primeras cosas que se enseñan en la carrera de Matemáticas. Yo pediría -cordialmente, esto no es una reprimenda, ni soy nadie para hacerla- a los no matemáticos que se abstuvieran de publicar (en temas matemáticos, claro) sobre aquello que no han estudiado y sobre lo que sólo tienen una opinión, por muy convencidos que estén de ella, así como de modificar aquellas partes de un artículo matemático que no les convenzan. En esta disciplina son muchas las sutilezas que pueden parecer absurdas, sin sentido o incluso aparentemente contradictorias o erroneas, pero puedo asegurarles que (si no se trata de un ejercicio de opinión de alguien bienintencionado pero no versado en la materia) estas situaciones están totalmente justificadas. En Matemática el rigor y el formalismo son las únicas vías que permiten no meter la pata, y detrás de cada teorema, definición, reflexión, etcétera, hay una larga maduración, reflexión y puesta a prueba de los conceptos precisamente para no caer en paradojas. Animo a todos a seguir escribiendo sobre Matemática (es mucho lo que aun falta en la Wikipedia sobre el tema), pero pediría que lo hagan sólo sobre aquello que han estudiado profundamente y que saben con toda certeza que es correcto, sin caer en el peligro de escribir opiniones o reflexiones propias en los artículos, y ante cualquier duda, en lugar de actuar sobre el artículo, utilicen la página de discusión del mismo. Gracias.--Wewe 12:48 18 oct, 2005 (CEST)

El caracter unicode vs TEX

Podemos incluir el caracter $\mathbb {N}$. El unicode en mi navegador no se visualiza. Pero este, hecho con Tex, lo vería todo el mundo. Si nadie me dice nada quitaré lo del unicode y lo substituiré yo mismo... a ver que os parece. Xenoforme

Respecto al unicode.

¿Tu navegador no soporta la codificación UTF-8 o simplemente no la tienes seleccionada? Según leí, en la wikipedia inglesa quieren empezar a usar unicode en lugar de ASCII. Realmente creo que sería la codificación adecuada para cualquier trabajo universal como éste, pues el unicode incluye los caracteres de muchísimas culturas del planeta, mientras que el ascii no.

Por otra parte, opino que el acabado de los artículos con texto plano y añadidos en latex resulta extraño, pues la fuente es distinta y más gruesa, aparte de que modifica la estética normal del interlineado. El latex está bien para las fórmulas que van independientes en líneas. Un saludo. --Domaniom 13:19 5 jul, 2005 (CEST)

no se ve la historia

donde esta la historia

Órden no deseado

En el artículo, se defíne un orden de la siguiente manera:

"Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define la mediante la expresión

$a\leq b\iff a\subseteq b$

es decir que un número $a$ es menor o igual que $b$ si y solo si $b$ contiene a todos los elementos de $a$."

Lo que, restringido a los naturales, precisamente nos da el órden total al que todos estamos acostumbrados, pero tomando formalismos, realmente lo que nos da, es un órden parcial de P(N), nos ordena cosas que no queremos, por ejemplo, según la definición, $\{1,3,4\}\leq 5$. Yo pienso que la definición de ese orden, debe ser borrada.

Xidane (discusión) 03:45 21 feb 2008 (UTC)

Esta idea que tienes es un error porque según la definición de teoría de conjuntos, $\{1,3,4\}$ no es ni siquiera un número natural, y la definición la estamos aplicando a números naturales. $k_{n}\,$ ■ 00:20 8 jul 2009 (UTC)

¿Cuentan las chicas?

He cambiado en "Historia" a los romanos y los griegos por Grecia y Roma.--Feministo (discusión) 00:26 25 feb 2008 (UTC)

En este idioma el plural masculino puede referirse a ambos géneros, lo que depende del contexto. Por lo demás, ¿tu título pregunta si cuentan las chicas o si contaban entonces? --85.84.57.238 (discusión) 20:19 28 may 2017 (UTC)

Traslado texto a discusión

Este texto es escásamente enciclopédico por enrevesado:

Un número natural es cualquiera simbolo o marca, que haga el hombre bajo la acción de un proceso de cuantificar objetos que se presentan ante él, dentro del accionar de su pensamiento en el desarrollo de una busqueda, y que clasifica desde las cualidades de su naturaleza, de allí que cualquier elemento del conjunto de los números: (0)*, 1, 2, 3, 4, 5..., (de un o más digíto o cifras de notación Indu Arabiga) o que se pueden usar para contar los elementos del mismo u otro conjunto. Reciben ese nombre porque se hacen bajo el proceso de cuantificar los objetos que se presentan en forma natural y crea en el ser humano la necesidad imperiosa de contar objetos, de allí que su utilización presede a nuestra condición de seres racionales.

Este proceso de cuantificar desde una metrica construida para un fin especifico individual, pero de repercuciones colectivas crea una *cierta polémica para el desarrollo de la teoría sobre si el cero está incluido o no en el conjunto de los naturales. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números),el cero no es un numero natural, porque desde la busqueda y aplicación de la metrica solo se establece la relación biunivoca entre un simbolo y un objeto cuando este aparece en la forma natural ante el individuo que hace la acción de contar, por lo tanto prefieren no reconocer el cero como un número natural, mientras que otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, tienen la postura opuesta, porque para hacer el conteo es necesario construir la metrica o marco referencial que permite iniciar la busqueda de los objetos desde las cualidades señaladas, en otras palabras el cero es el marco referencial que establece las cualidades de los objetos que permiten hacer conjuntos, de allí que los conjuntos cuyos elementos no satisfacen las condiciones naturales su cardinal sea cero.

Lo traslado aquí, para discutir su inclusión, o nueva redacción. Saludos, José MC (mensajes) 21:28 20 mar 2009 (UTC)

¿Por qué no el cero?

En este artículo no se hace mención al cero como natural. Sé que se debate el incluir o no al cero en este conjunto, pero no le veo el motivo el eliminarlo completamente del artículo. La definición de la RAE lo cuenta como natural, y otras wikipedias (como la inglesa) lo listan como natural, o al menos mencionan que hay dos posturas. --Zaich (discusión) 00:19 20 mar 2010 (UTC)

La Norma ISO 80000-2 2009 incluye al 0 en lo naturales. No se ve esto en este artículo y el hecho de que no lo mencionen da a entender que esa es la única definición.— El comentario anterior sin firmar es obra de 190.152.178.170 (disc. • contribs • bloq). 02:51 20 may 2018‎

Teoría de números

Esta disciplina incluye el conjunto de los números enteros, así lo dice Vinogradov en la página 13 de su obra Fundamentos de la teoría de los números(1977) Editorial Mir.Moscú.--Julio grillo (discusión) 04:30 14 ago 2011 (UTC)

Definiciones

No hagamos payasadas. Primero leamos a Paul Halmos en su medular obra «Teoría intuitiva de los conjuntos», su capítulo 11, donde de una manera olímpica pone cero igual al conjunto vacío. No es por gusto, así lo entienden las sociedades ágrafas, por eso se llaman números naturales. O bien wari yupakuna,or natuarl numbers.--Julio grillo (discusión) 04:47 14 ago 2011 (UTC)

Nadie hace payasadas. Cuando los naturales se definen partiendo de la teoría de conjuntos, asociar el 0 al conjunto vacío resulta natural (valga la redundancia). Cuando los naturales se definen inductivamente (como lo hizo Peano en 1889) uno puede elegir el punto de comienzo arbitrariamente, no hay preferencia "natural" por 0 o por 1. De hecho, Peano realmente usó el 1 como punto de partida[1], pero muchos libros actuales exponen sus axiomas comenzando en 0. Por la misma época Charles S. Peirce ("On the Logic of Number") definió los naturales en forma recursiva, usando los conceptos de "mínimo" y "predecesor" - y los definió comenzando en 1. Tanto uno como el otro empezaron en uno, aún cuando podrían haber usado el cero con la misma facilidad. Si no lo hicieron fue porque en esa época se consideraba que los naturales empezaban en uno. Incluir al 0 dentro de los números naturales es algo relativamente reciente (influido por la teoría de conjuntos, supongo). Muchos lenguajes ni siquiera tienen una palabra para esa cantidad, y en castellano, 'cero' recién aparece como adjetivo en el diccionario de la RAE de 1989 (hasta entonces era sólo sustantivo; aunque se usa bastante poco: nadie dice "Tengo cero manzanas" sino "No tengo manzanas").

Aún hoy el tema da para publicar un artículo.

Así que en lugar de pelearnos por lo que debería ser, mejor describimos ambas posturas (que, dicho sea de paso, es lo que exige el punto de vista neutral). ggenellina ¿mensajes? 14:00 14 ago 2011 (UTC)

El cero como número natural

Agregué algunas observaciones sobre la notación y terminología que se utilizan cuando se considera al cero natural como cuando no. Saludos --190.45.86.154 (discusión) 17:19 21 abr 2013 (UTC)

Tomar el cero como natural o no suele depender de la rama en la que estés trabajando (álgebra o análisis). Verdaderamente se puede incluir en ambos lados por conveniencia, pero en ningún momento supone una contradicción, por lo que ambos convenios están aceptados. Independientemente de eso, lo mejor sería catalogarlo como elemento neutro para eliminar ese tipo de discusiones especificando que puede puede tratarse como número entero o no según conveniencia. --DavosMat (discusión) 11:59 14 ago 2013 (UTC)

Un par de cambios.

Propongo eliminar la primera frase del artículo completamente o sustituirla por otra estilo: Se consideran números naturales todos aquellos números no negativos sin parte decimal. Pero, por favor, no dejemos la frase esa porque no se pueden contar los elementos de un conjunto infinito-innumerable. Espero opiniones respecto a esta cambio antes de hacerlo.

Por otro lado, en la sección de historia (ya al final) se da una característica errónea de los números naturales ya que se dice Que un número natural va después del otro lo cual es incorrecto (si se considera el 0 natural, no va detrás de ningún natural; si el 0 no se considera natural, 1 es el primer natural y tampoco va después de ningún otro). A parte, que lo que se dan no son propiedades numéricas, sino propiedades del conjunto. Por tanto, voy a arreglarlo un poco aunque en mi opinión lo mejor es quitarlo porque para dar características de ℕ ya están justo debajo los axiomas de Peano. Espero opiniones sobre si eliminar esa sección o no.

Un saludo. --DavosMat (discusión) 12:15 14 ago 2013 (UTC)

Sobre los cambios que propones:

• La entradilla del artículo es ciertamente muy pobre. Sin embargo, no estoy de acuerdo con la frase que propones, es demasiado técnica/abstracta. En un artículo de esta generalidad e importancia se necesita una entradilla lo más introductoria y "divulgativa" posible.
• En efecto, esas propiedades no pintan nada en la sección de Historia, se pueden quitar.

Un saludo. kismalac 13:47 14 ago 2013 (UTC)

En cuanto a lo de la entrada, dudo que haya propuesto una entrada excesivamente técnica. Cualquier persona puede saber qué es un positivo o negativo y qué números tienen decimales o cuáles no y además es más correcta que la caracterización con conjuntos que hay puesta. En cuanto a lo de las propiedades las he cambiado, pero sigo pensando que no es necesario que vayan ahí, así que en cuanto alguien más opine lo mismo la borraré

Igualmente agradezco tu intervención, kismalac.

Un saludo, --DavosMat (discusión) 14:44 14 ago 2013 (UTC)

Versión simplificada

Sea N ≠ ∅; a sus elementos se llaman números naturales.

Postulado 1. Cero , denotado 0, es un número natural.

Postulado 2. Sea suc una función definida de N en N-{0}, tal que a cada n le asigna su sucesor ​. La función sucesor es inyectiva ​.

Postulado 3.Sea A un conjunto de números reales que cumple dos exigencias

1) 0 es elemento de A.

2) El sucesor de n está en A siempre que n está en A;

entonces todo número natural está en N, A=N. Se conoce como el Principio de inducción matemática ​ ​

Relación de orden

Cuando se excluye a cero

Diremos que a < b si hay un n. natural c tal que a + c = b. Tiene la siguientes propiedades

O1. a≠b entonces a <b o b < a

O2. a no es menor que a, no es reflexiva la relación <.

03. No es simétrica la relación <, esto esto de a < b no se deduce b < a.

O4. 1 < n , para cualquier n natural y n ≠ 1. Además todo natural es menor que su sucesor.

O5. Ley de tricotomía: si m y son dos números naturales cualesquiera entonces cabe una y sólo una de las siguientes alternativas: m < n o bien m = n o bien n < m.

O6. Principio de la buena ordenación: todo subconjunto H de los números naturales tiene un elemento s tal que s menor para cualquier otro elemento de H.

07. Si a < b entonces a + k < b+k para cualquier k natural.

O8. si a < b entonces ap < bp para todo p natural. ​

HISTORIA

La escritura cuneiforme es del 4000 a.C., no del 400 a.C. Hago la corrección.--Phillo (discusión) 15:33 10 feb 2022 (UTC)

Estuvo en uso desde el III milenio antes de Cristo hasta el siglo I. Linuxmanía (discusión) 21:59 10 feb 2022 (UTC)

Si pero es incorrecto decir que en mesopotamia se escribía en arcilla cocida en el año 400 a.C. cuando en esa época Euclides estaba a punto de aparecer ya... Phillo (discusión) 22:31 10 feb 2022 (UTC)

es decir: es cierto que la escritura cuneiforme duró todo ese tiempo, pero el hallazgo matemático del que se habla en esa frase no se hizo en el año 400 a.C. sino mucho tiempo antes. Piensa que en el año 400 a.C. el imperio aqueménida ya tenía 100 años existiendo y los avances matemáticos iniciales ya estaban más que establecidos en el área de mesopotamia y en el área egipcia.

Poner año 400 a.C. es incorrecto para el tema que se está tratando en este artículo. Phillo (discusión) 22:35 10 feb 2022 (UTC)

ver: el artículo historia de las matemáticas para ver más ejemplos. Phillo (discusión) 22:37 10 feb 2022 (UTC)