Dominio en estrella

En geometría, un conjunto $S$ en un espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ se denomina dominio en estrella (o conjunto convexo estrellado, conjunto en forma de estrella o conjunto radialmente convexo) si existe un $s_{0}\in S$ tal que para todos los $s\in S,$ el segmento de $s_{0}$ a $s$ se encuentre en $S.$ Esta definición se puede generalizar inmediatamente a cualquier espacio vectorial real o complejo.

Un dominio en estrella (equivalentemente, un conjunto convexo estrellado o en forma de estrella) no es necesariamente convexo en el sentido común del término

Intuitivamente, si se piensa en $S$ como una región rodeada por una pared, $S$ es un dominio estelar si se puede encontrar un punto de vista $s_{0}$ en $S$ desde el cual cualquier punto $s$ de $S$ esté dentro de su línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de conjunto radial.

Definición

Una corona circular no es un dominio en estrella

Dados dos puntos $x$ e $y$ en un espacio vectorial $X$ (como el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$), la envolvente convexa de $\{x,y\}$ se llama intervalo cerrado con puntos finales $x$ e $y$ y se denota por

$\left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],$

donde $z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}$ para cada vector $z$.

Un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $X$ se dice que tiene forma de estrella desde $s_{0}\in S$ si para cada $s\in S,$ el intervalo cerrado $\left[s_{0},s\right]\subseteq S.$

Un conjunto $S$ tiene forma de estrella y se llama dominio en estrella si existe algún punto $s_{0}\in S$ tal que $S$ tenga forma de estrella desde $s_{0}.$.

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto en estrella.​ Estos conjuntos están cerrados en relación con el funcional de Minkowski.

Ejemplos

• Cualquier recta o plano en $\mathbb {R} ^{n}$ es un dominio en estrella.
• Una recta o un plano al que se le ha eliminado un solo punto no es un dominio en estrella.
• Si $A$ es un conjunto en $\mathbb {R} ^{n},$, el conjunto $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ obtenido al conectar todos los puntos en $A$ con el origen es un dominio en estrella.
• Cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio en estrella. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio en estrella con respecto a cualquier punto de ese conjunto.
• Una figura con forma de cruz es un dominio en estrella, pero no es convexa.
• Un polígono con forma de estrella es un dominio en estrella cuyo límite es una secuencia de segmentos rectilíneos conectados entre sí.

Propiedades

• La clausura de un dominio en estrella es también un dominio en estrella, pero el interior de un dominio en estrella no es necesariamente un dominio en estrella.
• Cada dominio en estrella es un conjunto contráctil, a través de una homotopía rectilínea. En particular, cualquier dominio en estrella es un conjunto simplemente conexo.
• Cada dominio en estrella, y solo un dominio en estrella, puede reducirse a sí mismo; es decir, para cada relación de dilatación $r<1,$, el dominio puede dilatarse en una relación $r$ tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original.​
• La unión y la intersección de dos dominios en estrella no son necesariamente un dominio en estrella.
• Un dominio en estrella abierto no vacío $S$ en $\mathbb {R} ^{n}$ es de difeomorfo a $\mathbb {R} ^{n}.$
• Dado $W\subseteq X,$, el conjunto $\bigcap _{|u|=1}uW$ (donde $u$ abarca todos los escalares de vector unitario) es un conjunto equilibrado siempre que $W$ tenga forma de estrella respecto al origen (lo que significa que $0\in W$ y $rw\in W$ para todos los $0\leq r\leq 1$ y $w\in W$).

Véase también

• Conjunto absolutamente convexo
• Problema de la galería de arte
• Convexidad
• Estrella (figura geométrica)

Bibliografía

• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1983, ISBN 0-521-28763-4, MR 0698076
• C.R. Smith, A characterization of star-shaped sets, American Mathematical Monthly, vol. 75, núm. 4 (abril de 1968). p.386, MR 0227724,

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135
• Schechter, Eric (1996).Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Dominio en estrella.
• Humphreys, Alexis. «Star convex». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q769917
• Multimedia: Star-shaped sets / Q769917