Ecuación de la desdoblada

En matemáticas, la ecuación de la desdoblada es la ecuación de la recta tangente a una circunferencia que pasa por uno de los puntos de dicha circunferencia.

La ecuación de la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos recibe el nombre de '"ecuación de la desdoblada'". Tal nombre obedece a que si se parte la circunferencia por cualquier otro punto y se endereza o desdobla la línea curva hasta hacerla recta, resultará la recta tangente antes mencionada.

Ecuación de la desdoblada de una circunferencia

Sea una circunferencia C de centro $O=(\alpha ,\beta )$ y radio $r$ de ecuación:

$(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}=r^{2}$

que también puede expresarse en la forma

$x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y+\gamma =0$

donde $\gamma =\alpha ^{2}+\beta ^{2}-r^{2}$.

Sea $P(x_{P},y_{P})$ un punto perteneciente a dicha circunferencia.

La ecuación de la recta tangente a la circunferencia que pasa por dicho punto será perpendicular al radio que pasa por P, y se puede demostrar que su ecuación es:​

$(x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma$

Demostración

La ecuación de la recta tangente por $(x_{P},y_{P})$ será $y-y_{P}=m(x-x_{P})$ El problema se reduce a encontrar la pendiente m tal que la recta resultante sea perpendicular al radio que pasa por P. Una vez obtenida la pendiente $m_{R}$ de la recta ${\overline {OR}}$, la pendiente buscada será $m=-1/m_{R}$. Las coordenadas del centro O de la circunferencia son $(\alpha ,\beta )$. Por tanto $m_{R}={\frac {y_{P}-\beta }{x_{P}-\alpha }}$, y $m=-{\frac {x_{P}-\alpha }{y_{P}-\beta }}$ luego $y-y_{P}=-{\frac {x_{P}-\alpha }{y_{P}-\beta }}(x-x_{P})$ reordenando términos: $(x_{P}-\alpha )(x-x_{P})+(y-y_{P})(y_{P}-\beta )=0$ (1)$(x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-\alpha x_{P}-\beta y_{P}$ dado que el punto P pertenece a la circunferencia, satisface su ecuación, luego $x_{P}^{2}+y_{P}^{2}-\alpha x_{P}-\beta y_{P}=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma$ sustituyendo en (1) (2)$(x_{P}-\alpha )x+(y_{P}-\beta )y=\alpha x_{P}+\beta y_{P}-\gamma$

Ejemplo

La circunferencia $x^{2}+y^{2}-4x+8y-33=0$ pasa por el punto P = (4, 3). La ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia que pasa por el punto dado P es:

$(4-2)x+(3+4)y=2\cdot 4-4\cdot 3+33$

$2x+7y=29$

Véase también

• Recta tangente.

Enlaces externos

• Cambios de la desdoblada de la tangente para las cónicas.

• Datos: Q5817440