Sea una función compleja , con . Se sabe que se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables y , de manera que . Si la función es derivable en un punto entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:
donde significa la derivada parcial de la función respecto a la variable , usualmente simbolizado . Análogamente para , y .
Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann constituyen una diferencia fundamental entre la derivabilidad en el sentido complejo y la derivabilidad de funciones de dos variables reales, aunque geométrica y topológicamente y sean equivalentes. En efecto, la función compleja o, equivalentemente, , no es derivable en el sentido complejo, pues no satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, como es fácil comprobar. Sin embargo, la función de dos variables reales que geométricamente hace lo mismo, esto es , sí que es derivable, como también es sencillo demostrar (pues no tiene que satisfacer necesariamente estas ecuaciones).
donde este último es un límite doble en el plano debido a la equivalencia topológica existente entre y con la distancia euclídea. En tal caso, si existe el límite doble, sabemos que existen los límites direccionales y que coinciden. En particular, existirán los límites direccionales a lo largo de y de . Por consiguiente:
1)
2)
Si ahora igualamos 1 y 2, se deducen de manera inmediata las ecuaciones del enunciado anterior, que se denominan ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Así, las partes real e imaginaria de la función son y respectivamente. Derivado con respecto a e es inmediato que
y que
.
Es decir, se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, como debe ser.
Por último verifiquemos la derivada obedece a la fórmula de arriba. La derivada de es , pues las reglas para derivar funciones complejas son las mismas que para funciones de variable real ya que, formalmente, las definiciones de derivada en ambos casos son iguales (ver Función holomorfa). Por lo tanto,
.
Es decir, se satisface la fórmula enunciada para la derivada en función de las derivadas parciales de las partes real e imaginaria.
Hay que hacer notar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann no constituyen una condición suficiente, por lo que no valen por sí solas para demostrar la derivabilidad (respecto al parámetro complejo) de una función en un punto. El ejemplo clásico es
Esta función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann pero no es continua en cero.
Sin embargo, sí tenemos condiciones suficientes de derivabilidad si la función, además de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos funciones u y v derivables en el sentido real en un entorno de . El lema de Weyl nos dice que es suficiente que las ecuaciones de Cauchy Riemann se satisfagan débilmente en un entorno del punto y sean integrables en ese entorno.
No es difícil verificar que dos funciones de clase que verifiquen las condiciones de Cauchy-Riemann son ambas armónicas. En tal caso se dice que ellas son armónicas conjugadas.