Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria es

siempre que esta esperanza exista.

La función generatriz de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de , permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generatriz no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :

En ocasiones se escribe en lugar de y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

Cálculo

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Si   es una variable aleatoria continua con función de densidad  , entonces la función generadora de momentos viene dada por:

 
 

donde   es el  -ésimo momento.   es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de  .

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

 

donde   es la función de distribución. Si   es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

 

donde las   son constantes, entonces la función de densidad de   es la convolución de la función de densidad de cada una de las   y la función generadora de momentos para   viene dada por

 

Para variables aleatorias multidimensionales   con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

 

donde t es un vector y   es el producto punto.

Función generatriz de momentos para algunas distribuciones

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  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .

Ejemplos

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Función generatriz para una variable aleatoria discreta

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Si   entonces la función de probabilidad está dada por

 

para   por lo que la función generatriz de momentos es

 

Relación con otras funciones

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Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generatriz de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica

La función característica   está relacionada con la función generadora de momentos vía

 

siempre que ambas existan.

Función generadora de probabilidad

La función generatriz de momentos y la función generatriz de probabilidades se relacionan por la igualdad

 

donde

 

siempre que ambas existan.

Véase también

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