Grupo cuántico localmente compacto

enfoque C* algebraico hacia los grupos cuánticos

En matemáticas y física teórica, un grupo cuántico localmente compacto[1]​ es un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo hacia el grupo cuántico, que generaliza los enfoques del álgebra de Kac, del grupo cuántico compacto y del álgebra de Hopf. Los intentos anteriores de lograr una definición unificadora de grupos cuánticos utilizando, por ejemplo, unitarios multiplicativos, han tenido cierto éxito, pero también han encontrado varios problemas técnicos.

Una de las principales características que distingue a este nuevo enfoque de sus predecesores es la existencia axiomática de pesos invariantes a izquierda y derecha. Esto proporciona un análogo no conmutativo de la medida de Haar a izquierda y derecha en un grupo de Hausdorff localmente compacto.

Definiciones

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Antes de que siquiera se pueda comenzar a definir adecuadamente un grupo cuántico localmente compacto, primero se debe definir una serie de conceptos preliminares y también enunciar algunos teoremas.

Definición (peso). Sea   un C*-álgebra y   denota el conjunto de elementos positivos de  . Un peso en   es una función   tal que

  •   para todos los  , y
  •   para todos los   y  .

Algunas notaciones para pesos. Sea   un peso en un C* álgebra  . Se usa la siguiente notación:

  •  , que se denomina conjunto de todos los elementos positivos integrables en   de  .
  •  , que se denomina conjunto de todos los elementos integrables al cuadrado   de  .
  •  , que se denomina conjunto de todos los elementos  -integrables de  .

Tipos de pesos. Sea   un peso en una C*-álgebra  .

  • Se dice que   es fiel si y solo si   para cada   distinto de cero.
  • Se dice que   es semicontinuo inferior si y solo si el conjunto   es un subconjunto cerrado de   para cada  .
  • Se dice que   está densamente definido si y solo si   es un subconjunto denso de  , o de manera equivalente, si y solo si   o   es un subconjunto denso de  .
  • Se dice que   es propio si y solo si es distinto de cero, semicontinuo inferior y densamente definido.

Definición (grupo de un parámetro). Sea   una C* álgebra. Un grupo de un parámetro en   es una familia   de *automorfismos de   que satisface   para todos los  . Se dice que   es una norma-continua si y solo si para cada  , la aplicación   definida por   es continua.[2]

Definición (extensión analítica de un grupo de un parámetro). Dado un grupo de un parámetro continuo de norma   en una C* álgebra  , se define una Extensión analítica de  . Para cada  , sea

 ,

que es una franja horizontal en el plano complejo. Se denomina a una función   norma-regular si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

  • Es analítica en el interior de  , es decir, para cada   en el interior de  , el límite   existe con respecto a la topología norma en  .
  • Está acotado por normas en  .
  • Es norma continua en  .

Supóngase ahora que  , y considérese que

 

Entonces, se define   por  . La función   está determinada de forma única (por la teoría de funciones analíticas complejas), por lo que   está bien definida. La familia   se denomina entonces extensión analítica de  .

Teorema 1. El conjunto  , llamado conjunto de elementos analíticos de  , es un subconjunto denso de  .

Definición (peso K.M.S.). Sea   una C* álgebra y   un peso en  . Se dice que   es un peso K.M.S. ('K.M.S.' significa 'Kubo-Martin-Schwinger') en   si y solo si   es un peso propio en   y existe un grupo normado continuo de un parámetro   en   tal que

  •   es invariante bajo  , es decir,   para todos los  , y
  • por cada  , se tiene que  .

Denótese por   el álgebra multiplicadora de  .

Teorema 2. Si   y   son C* álgebras y   es un homomorfismo* no degenerado (es decir,   es un subconjunto denso de  ), entonces se puede extender   de forma única a un *homomorfismo  .

Teorema 3. Si   es un estado (es decir, un funcional lineal positivo de norma  ) en  , entonces se puede extender   de forma única a un estado   en  .

Definición (grupo cuántico localmente compacto). Un (C*-algebraico) grupo cuántico localmente compacto es un par ordenado  , donde   es una C* álgebra y   es un *homomorfismo no degenerado, llamado co-multiplicación, que satisface las siguientes cuatro condiciones:

  • La comultiplicación es coasociativa, es decir,  .
  • Los conjuntos   y   son subconjuntos linealmente densos de  .
  • Existe un peso K.M.S. fiel   en   que es invariante a la izquierda, es decir,   para todos los   y  .
  • Existe un peso K.M.S.   en   que es invariante a la derecha, es decir,   para todos los   y  .

A partir de la definición de un grupo cuántico localmente compacto, se puede demostrar que el peso K.M.S.   es automáticamente fiel. Por lo tanto, la fidelidad de   es una condición redundante y no necesita ser postulada.

Dualidad

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La categoría de grupos cuánticos localmente compactos permite una construcción dual con la que se puede demostrar que el bi-dual de un grupo cuántico localmente compacto es isomorfo al original. Este resultado proporciona una generalización de gran alcance de la dualidad de Pontriaguin para grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos.

Formulaciones alternativas

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La teoría tiene una formulación equivalente en términos del álgebra de von Neumann.

Véase también

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Referencias

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  1. Locally Compact Quantum Groups and Groupoids: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, February 21-23, 2002. Walter de Gruyter. 2008. pp. 230 de 247. ISBN 9783110200058. Consultado el 14 de febrero de 2024. 
  2. Seguramente, debería llamarse fuertemente continua.

Bibliografía

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  • Johan Kustermans & Stefaan Vaes. "Locally Compact Quantum Groups." Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Vol. 33, No. 6 (2000), pp. 837–934.
  • Thomas Timmermann. "An Invitation to Quantum Groups and Duality – From Hopf Algebras to Multiplicative Unitaries and Beyond." EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (2008).