Grupo cuántico localmente compacto
En matemáticas y física teórica, un grupo cuántico localmente compacto[1] es un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo hacia el grupo cuántico, que generaliza los enfoques del álgebra de Kac, del grupo cuántico compacto y del álgebra de Hopf. Los intentos anteriores de lograr una definición unificadora de grupos cuánticos utilizando, por ejemplo, unitarios multiplicativos, han tenido cierto éxito, pero también han encontrado varios problemas técnicos.
Una de las principales características que distingue a este nuevo enfoque de sus predecesores es la existencia axiomática de pesos invariantes a izquierda y derecha. Esto proporciona un análogo no conmutativo de la medida de Haar a izquierda y derecha en un grupo de Hausdorff localmente compacto.
Definiciones
editarAntes de que siquiera se pueda comenzar a definir adecuadamente un grupo cuántico localmente compacto, primero se debe definir una serie de conceptos preliminares y también enunciar algunos teoremas.
Definición (peso). Sea un C*-álgebra y denota el conjunto de elementos positivos de . Un peso en es una función tal que
- para todos los , y
- para todos los y .
Algunas notaciones para pesos. Sea un peso en un C* álgebra . Se usa la siguiente notación:
- , que se denomina conjunto de todos los elementos positivos integrables en de .
- , que se denomina conjunto de todos los elementos integrables al cuadrado de .
- , que se denomina conjunto de todos los elementos -integrables de .
Tipos de pesos. Sea un peso en una C*-álgebra .
- Se dice que es fiel si y solo si para cada distinto de cero.
- Se dice que es semicontinuo inferior si y solo si el conjunto es un subconjunto cerrado de para cada .
- Se dice que está densamente definido si y solo si es un subconjunto denso de , o de manera equivalente, si y solo si o es un subconjunto denso de .
- Se dice que es propio si y solo si es distinto de cero, semicontinuo inferior y densamente definido.
Definición (grupo de un parámetro). Sea una C* álgebra. Un grupo de un parámetro en es una familia de *automorfismos de que satisface para todos los . Se dice que es una norma-continua si y solo si para cada , la aplicación definida por es continua.[2]
Definición (extensión analítica de un grupo de un parámetro). Dado un grupo de un parámetro continuo de norma en una C* álgebra , se define una Extensión analítica de . Para cada , sea
- ,
que es una franja horizontal en el plano complejo. Se denomina a una función norma-regular si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
- Es analítica en el interior de , es decir, para cada en el interior de , el límite existe con respecto a la topología norma en .
- Está acotado por normas en .
- Es norma continua en .
Supóngase ahora que , y considérese que
Entonces, se define por . La función está determinada de forma única (por la teoría de funciones analíticas complejas), por lo que está bien definida. La familia se denomina entonces extensión analítica de .
Teorema 1. El conjunto , llamado conjunto de elementos analíticos de , es un subconjunto denso de .
Definición (peso K.M.S.). Sea una C* álgebra y un peso en . Se dice que es un peso K.M.S. ('K.M.S.' significa 'Kubo-Martin-Schwinger') en si y solo si es un peso propio en y existe un grupo normado continuo de un parámetro en tal que
- es invariante bajo , es decir, para todos los , y
- por cada , se tiene que .
Denótese por el álgebra multiplicadora de .
Teorema 2. Si y son C* álgebras y es un homomorfismo* no degenerado (es decir, es un subconjunto denso de ), entonces se puede extender de forma única a un *homomorfismo .
Teorema 3. Si es un estado (es decir, un funcional lineal positivo de norma ) en , entonces se puede extender de forma única a un estado en .
Definición (grupo cuántico localmente compacto). Un (C*-algebraico) grupo cuántico localmente compacto es un par ordenado , donde es una C* álgebra y es un *homomorfismo no degenerado, llamado co-multiplicación, que satisface las siguientes cuatro condiciones:
- La comultiplicación es coasociativa, es decir, .
- Los conjuntos y son subconjuntos linealmente densos de .
- Existe un peso K.M.S. fiel en que es invariante a la izquierda, es decir, para todos los y .
- Existe un peso K.M.S. en que es invariante a la derecha, es decir, para todos los y .
A partir de la definición de un grupo cuántico localmente compacto, se puede demostrar que el peso K.M.S. es automáticamente fiel. Por lo tanto, la fidelidad de es una condición redundante y no necesita ser postulada.
Dualidad
editarLa categoría de grupos cuánticos localmente compactos permite una construcción dual con la que se puede demostrar que el bi-dual de un grupo cuántico localmente compacto es isomorfo al original. Este resultado proporciona una generalización de gran alcance de la dualidad de Pontriaguin para grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos.
Formulaciones alternativas
editarLa teoría tiene una formulación equivalente en términos del álgebra de von Neumann.
Véase también
editarReferencias
editar- ↑ Locally Compact Quantum Groups and Groupoids: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, February 21-23, 2002. Walter de Gruyter. 2008. pp. 230 de 247. ISBN 9783110200058. Consultado el 14 de febrero de 2024.
- ↑ Seguramente, debería llamarse fuertemente continua.
Bibliografía
editar- Johan Kustermans & Stefaan Vaes. "Locally Compact Quantum Groups." Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Vol. 33, No. 6 (2000), pp. 837–934.
- Thomas Timmermann. "An Invitation to Quantum Groups and Duality – From Hopf Algebras to Multiplicative Unitaries and Beyond." EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (2008).