Homeomorfismo

En topología, un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = ‘misma’ y μορφή (morphē) = ‘forma’) es una función de un espacio topológico a otro, que satisface tres condiciones: es biyectiva, es continua y su inversa también es continua. En tal caso se dice que los dos espacios, el de partida y el de llegada, son homeomorfos. Cuando dos espacios topológicos son homeomorfos, los conjuntos abiertos de ambos espacios están en correspondencia biyectiva, por lo que la estructura topológica de ambos es idéntica. Las propiedades que se conservan bajo homeomorfismos, que por tanto son intrínsecas de dicha estructura, se denominan propiedades topológicas o invariantes topológicos.​

Ejemplo clásico de dos figuras homeomorfas: una taza y un toro o dónut.

De modo intuitivo, dos espacios son homeomorfos cuando uno de ellos puede «deformarse sin romperse» hasta obtener el otro. Por ejemplo, Un cubo y una esfera son sólidos homeomorfos. A diferencia de la geometría euclidiana, que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes bajo movimientos rígidos, la forma o las distancias no son relevantes desde el punto de vista de la topología.​ En cambio, la topología estudia la relación de vecindad entre unos puntos y otros: cuestiones como la separación, la conectividad o la compacidad, entre otras muchas. Sin embargo, no todas las transformaciones continuas preservan estas propiedades; por ejemplo, un segmento de recta se puede deformar continuamente hasta un único punto, pero al hacerlo se alteran propiedades del espacio. Dicha transformación, en efecto, no es invertible y por tanto no es un homeomorfismo.​

En la categoría de espacios topológicos, los morfismos son las funciones continuas y los isomorfismos son los homeomorfismos. La inversa de un homeomorfismo y la composición de dos homeomorfismos son a su vez homeomorfismos. En consecuencia, el conjunto de todos los homeomorfismos $h:X\to X$ de un espacio topológico en sí mismo forman un grupo llamado grupo de homeomorfismos de $X$, que se denota como $Homeo(X)$.

Definición

La definición de homeomorfismo es la siguiente:

Homeomorfismo Sean $X$ e $Y$ espacios topológicos, y $f$ una función de $X$ a $Y$; entonces, $f$ es un homeomorfismo si se cumple que: $f$ es una biyección $f$ es continua La inversa de $f$ es continua

Si $f:X\to Y$ es un homeomorfismo, $X$ se dice homeomorfo a $Y$. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.

Ejemplos

• Dos espacios dotados de la topología discreta son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad.
• Si X es un espacio compacto e Y es un espacio de Hausdorff, entonces $f:X\to Y$ es un homeomorfismo si y solo si es f es una biyección continua. Esto es, no es necesario verificar que la inversa de f sea continua. Esta propiedad es útil en muchas situaciones.
• Una esfera n-dimensional a la que se le ha quitado un punto, $\mathbb {S} ^{n}\setminus \{x\}$, es homeomorfa al espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$. El homeomorfismo puede ser construido a partir de la proyección estereográfica.

Difeomorfismo

Un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables cuya inversa también es diferenciable; es decir, es un isomorfismo de variedades diferenciables. Los cambios de coordenadas constituyen un caso particular de difeomorfismo.

Un ejemplo para distinguir entre homeomorfismo y difeomorfismo:

Una circunferencia y el perímetro de un cuadrado son homeomorfos, pero no difeomorfos.

También:

Dos curvas cualesquiera, en el espacio, son homeomorfas, en el sentido que existe un homeomorfismo entre ellas.

Dos volúmenes tipo «taza de café con asa» y un «toro» (o «dónut») son homeomorfos.

Un cambio de coordenadas regular puede representarse como un difeomorfismo entre los respectivos dominios de las coordenadas.

En física los difeomorfismos son ampliamente usados:

En mecánica hamiltoniana el flujo asociado a la evolución temporal de un sistema mecánico es un difeomorfismo. También cualquier transformación canónica es un difeomorfismo.

En mecánica de medios continuos la deformación es un difeomorfismo desde una configuración inicial a la configuración final. El conjunto de todos estos difeomorfismos forma un grupo de Lie de dimensión infinita.

En Relatividad general la evolución del espacio-tiempo viene dada por un grupo uniparamétrico de difeomorfismos. El grupo de norma de la relatividad general es el grupo de difeomorfismos que además son isometrías.

Véase también

• Encaje
• Morfismo
• Glosario de topología
• Homeomorfismo local
• Espacio recubridor
• Homotopía
• Topología algebraica

Referencias

Bibliografía

• Munkres, James R. (2002). Topology [Topología] (2ª edición). ISBN 978-84-205-3180-9. 
• Henle, Michael. (1979). A Combinatorial Introduction to Topology (en inglés). ISBN 978-0-486-67966-2. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Homeomorphism». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q202906
• Multimedia: Homeomorphisms / Q202906