Imagen (matemática)

En matemáticas, la imagen, campo de valores o rango de una función $f\colon X\to Y\,$ , también llamada la imagen de $X$ bajo $f$ , es el conjunto contenido en $Y$ formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

Ejemplo de imagen: La imagen del conjunto X es el conjunto Y, porque todos sus valores son imagen de alguno del conjunto X. Imágenes particulares de los valores: la imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será C y la de 4 será C también.

Ejemplo de Subconjunto imagen: Subconjunto imagen de X (D,B,A) dentro del conjunto Y (aquí Y no es imagen de X, porque no todos sus valores son imagen de algún valor del conjunto de X). Imágenes particulares de los valores: La imagen de 1 será D, la de 2 será B, la de 3 será A, y C no es imagen de nadie (no tiene antiimagen).

Se puede denotar como ${\rm {{im}(f)\,}}$ , $f(X)$ , $\operatorname {Im} _{f}\,$ o bien $I_{f}\,$ y formalmente está definida por:

\operatorname {Im} _{f}:=\left\{y\in Y\;|\;\exists x\in X,\;f(x)=y\right\}

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si $f:A\to B$ es una función, entonces la imagen del elemento $a\in A$ es el elemento $f(a)\in B$ .

Diferencia con el codominio

El conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio.

Es importante diferenciar el concepto de codominio del concepto de conjunto imagen.

Si $f:X\to Y$ es una función, al conjunto $Y$ se le conoce como codominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ tiene por codominio el conjunto $\mathbb {R}$ (todos los números reales), pero como $x^{2}$ nunca toma valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos y se representa con el conjunto:

$\operatorname {Im} _{f}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$

En general, el conjunto imagen es un subconjunto del codominio, y cuando el rango coincide con el codominio se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva.

Véase también

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Imagen (matemática)». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q860623