Método de Box-Muller

El método de Box-Muller (nombrado así por sus inventores George Edward Pelham Box y Mervin Edgar Müller 1958)^[1] es un método de generación de pares de números aleatorios independientes con distribución normal "estándar" (esperanza cero y varianza unitaria), a partir de una fuente de números aleatorios uniformemente distribuidos.

Se lo encuentra expresado de dos formas. La forma básica es la que desarrollaron Box y Müller, y toma dos muestras de la distribución uniforme en el intervalo (0, 1] y las transforma en dos muestras con distribución normal. El método polar toma dos muestras de un intervalo distinto, [−1, +1], y las transforma a dos muestras normalmente distribuidas sin utilizar las funciones seno o coseno.

También es posible utilizar el método de la transformada inversa para generar números aleatorios distribuidos normalmente; en comparación el método de Box-Müller posee la ventaja de ser más eficiente desde un punto de vista computacional.^[2] También es posible utilizar el algoritmo Ziggurat que es más eficiente.

Forma básica

Se supone que U₁ y U₂ son variables aleatorias independientes que están uniformemente distribuidas en el intervalo (0, 1]. Sea

Z_{0}=R\cos(\Theta )={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\cos(2\pi U_{2})\,

y

Z_{1}=R\sin(\Theta )={\sqrt {-2\ln U_{1}}}\sin(2\pi U_{2}).\,

Entonces Z₀ y Z₁ son variables aleatorias independentes con una distribución normal con desviación típica 1.

La demostración^[3] se basa en el hecho que, en un sistema cartesiano bidimensional donde las coordenadas X e Y son dadas por dos variables aleatorias independientes y distribuidas normalmente, las variables aleatorias para R² y Θ (indicadas previamente) en las coordenadas polares correspondientes también son independientes y poseen las expresiones:

R^{2}=-2\cdot \ln U_{1}\,

y

\Theta =2\pi U_{2}.\,

Método polar

Dos valores uniformemente distribuidos,

u

y

v

son usados para producir el valor

s=R^{2}

, el cual también se encuentra distribuida en forma uniforme. Las definiciones del seno y del coseno se aplican luego sobre la forma básica de la transformada de Box-Müller Transform de manera de evitar el uso de funciones trigonométricas.

La forma polar Devroye^[4] se le atribuye a Marsaglia. También es mencionada en Carter, aunque sin serle atribuida a nadie en particular.^[5]

Dados u y v, independentes y uniformemente distribuidos en un intervalo cerrado [−1, +1], sea s = R² = u² + v². (Donde obviamente $\scriptstyle R={\sqrt {s}}$ .) Si s = 0 o s > 1, se eliminan u y v y se prueba con otro par (u, v). Se continúa con el proceso hasta que se encuentra un par con s en el intervalo abierto (0, 1). Dado que u y v están uniformemente distribuidos y como sólo se admiten puntos contenidos en el círculo unitario, los valores de s también se encontraran uniformemente distribuidos en el intervalo abierto (0, 1). Esto último se puede verificar si se calcula la función de densidad de probabilidad para s en el intervalo (0, 1). Lo que no es otra cosa que el área del círculo de radio $\scriptstyle {\sqrt {s}}$ dividido por $\scriptstyle \pi$ . A partir de esto se puede encontrar la función de densidad de probabilidad que tenga un valor constante de 1 en el intervalo (0, 1). En forma similar, el ángulo θ dividido por $\scriptstyle 2\pi$ está distribuido uniformemente en el intervalo abierto (0, 1) e independiente de s.