Matriz hessiana

Elemento algebraico matricial debido a Ludwig Otto Hesse.
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En matemática, la matriz hessiana de un campo escalar es la matriz cuadrada de tamaño que tiene como entradas las derivadas parciales de segundo orden.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducida por James Joseph Sylvester.

Definición

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Sea   un campo escalar cuyas derivadas parciales de segundo orden existen.

La matriz Hessiana de  , denotada por  ,  , es una matriz cuadrada   definida como:

 

El determinante de la matriz Hessiana es conocido como determinante Hessiano.

Además, se tiene que si   con   un conjunto abierto y  , entonces la matriz hessiana está bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (o teorema de Schwarz), es una matriz simétrica.

Aplicaciones

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Concavidad/Convexidad

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Sea   un conjunto abierto y   una función de clase  :

  1.   es convexa si y solo si  , la matriz hessiana   es semidefinida positiva.
  2. Si   la matriz hessiana   es positiva-definida, entonces   es estrictamente convexa.
    • Si   es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.
  3.   es cóncava si y solo si  , la matriz hessiana   es semidefinida negativa.
  4. Si   la matriz hessiana   es negativa-definida, entonces   es estrictamente cóncava.
    • Si   es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.

Método para determinar el carácter de los puntos críticos

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Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función   de múltiples variables.

  1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
  2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
  3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
  4. Se sustituyen los puntos críticos en la matriz hessiana para obtener tantas matrices como puntos críticos tengamos.
  5. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos se pueden evaluar mediante el criterio de Sylvester:
  • Si todos los menores principales son mayores que 0, o sea, |Hi|>0 para     alcanza el mínimo relativo en el punto.
  • Si los menores principales de índice par son mayores que 0 y los de índice impar son menores que 0, o sea, |Himpar|<0 y |Hpar|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el máximo relativo en el punto.
  • Si los menores principales son distintos de 0, es decir, |Hi|≠0 ∀i=1,...,n y no es ninguno de los casos anteriores, es un punto de silla.
Cuando algún |Hi|=0, no se puede determinar nada, por lo que se debe hacer un estudio particular. Para n=2 el criterio se mejora en el sentido de que si |H1|=0 y |H2|<0   tiene un punto de silla en el punto.


De forma análoga podemos evaluar los extremos relativos de un campo escalar   estudiando los autovalores de su matriz hessiana.

Teorema 9.6 (CALCULUS volumen 2. Tom M.Apostol): "Sea   un campo escalar con derivadas parciales segundas continuas Dijf en una  -bola B(a), y designemos con   la matriz hessiana en el punto estacionario a. Tenemos entonces:

  1. Si todos los autovalores de   son positivos,   tiene un mínimo relativo en a.
  2. Si todos los autovalores de   son negativos,   tiene un máximo relativo en a.
  3. Si   tiene autovalores positivos y negativos,   tiene un punto de ensilladura en a."


El caso particular en el que la función a evaluar grafica una superficie en  ,   y tiene segundas derivadas continuas, se pueden estudiar los puntos críticos evaluando la matriz hessiana en ellos y luego utilizando el criterio de determinación de extremos. Si   es un punto crítico de  , (  y  ) entonces:

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto   es mayor que 0, |H|>0, y  , decimos que   alcanza un máximo relativo en  .

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto   es mayor que 0, |H|>0, y  , decimos que   alcanza un mínimo relativo en  .

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto   es menor que 0, |H|<0, decimos que   es un Punto de silla.

- Si el determinante de la matriz hessiana evaluado en el punto   es igual a 0, |H|=0, el criterio no concluye resultado alguno.

Generalizaciones

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Matriz hessiana orlada

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La matriz hessiana orlada es una variante de la matriz hessiana utilizada en problemas de optimización condicionada.

Dada la función   y la condición  , la matriz hessiana orlada de la función lagrangiana   asociada al problema de extremos condicionados es:

 

Si hay   condiciones, el bloque de ceros en la esquina inferior derecha es de tamaño   y hay   filas y   columnas bordeando por abajo y por la derecha.

El determinante de sus principales menores se utiliza como criterio para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo, máximo, punto silla o no determinado (extremos condicionados).[1]

Aplicación bilineal hessiana

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El concepto de matriz hessiana puede generalizarse a espacios de dimensión infinita, concretamente a aplicaciones definidas sobre espacios vectoriales normados. Si una aplicación (o funcional) está definida es diferenciable en el sentido de Fréchet y su diferencial jacobiana también es diferenciable en el sentido de Fréchet puede definirse una forma bilineal continua (y por tanto acotada) sobre el espacio normado que generaliza la matriz hessiana.

Se dice que una aplicación   entre espacios vectoriales normados   es diferenciable si existe una aplicación lineal continua   tal que:

 

En ese caso se escribe:

 

Puede probarse que   es a su vez otro espacio vectorial normado con la norma:

 

La segunda derivadas cuando existe es:

 

La forma bilineal hessiana viene dada por:

 

Véase también

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Referencias

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  1. Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J. (2004), Cálculo vectorial, Madrid: Pearson Educación S.A., ISBN 978-84-7829-069-7 ., página 230

Enlaces externos

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