Matriz fundamental (ecuación diferencial lineal)

En matemáticas, una matriz fundamental de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de orden $n$

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$

es una función matricial $\Psi (t)$ cuyas columnas son soluciones linealmente independientes del sistema. Mediante la matriz fundamental, pueden escribirse todas las soluciones del sistema como $\mathbf {x} =\Psi (t)\mathbf {c}$, donde $\mathbf {c}$ es algún vector (columna) constante.

Puede demostrarse que una función matricial $\Psi$ es una matriz fundamental de ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)$ si y sólo si ${\dot {\Psi }}(t)=A(t)\Psi (t)$ y $\Psi$ es una matriz regular para todo $t$ .​

Aplicaciones

• En teoría de control, la matriz fundamental se utiliza ara expresar la matriz de transición de estado, componente esencial en la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
• En la teoría de Floquet, el teorema de Floquet se enuncia mediante la matriz de monodromía, que es una matriz fundamental de soluciones.