Matriz transpuesta
Sea una matriz con filas y columnas. La matriz traspuesta, denotada con .[1][2]
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/e/e4/Matrix_transpose.gif)
Está dada por:
En donde el elemento de la matriz original se convertirá en el elemento de la matriz traspuesta .
Ejemplos
editarOtro ejemplo un poco más grande es el siguiente:
Propiedades
editar- Involutiva
- Para toda matriz ,
Demostración |
Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene |
- Distributiva
- Sean A y B matrices con elementos en un anillo y sea :
Demostración |
Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene |
- Lineal
Demostración |
Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa
sea dij = c aij, con esta notación se tiene c A = (dij)ij, por trasposición queda |
- Para el producto usual de las matrices y ,
Demostración |
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición
por trasposición queda
que coincide con la definición de producto para Bt At∎ |
- Si es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
Demostración |
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con denotando la norma euclídea.
de las propiedades de la norma se deduce xt At A x ≥ 0 para todo x, luego At A es semidefinida positiva. ∎ |
Definiciones asociadas
editarUna matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta:
Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.
Si los elementos de la matriz son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.
y antihermítica si
Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).
Véase también
editar- La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
- Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.
- Trasposición de un operador lineal
Referencias
editar- ↑ García Merayo, Félix (1995). «7.5». Lecciones prácticas de cálculo numérico (1 edición). Universidad Pontifica Comillas. p. 96. ISBN 9788487840685.
- ↑ Kurmyshev, Evguenii (2003). «2.2.3». Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería (1 edición). LIMUSA SA. p. 35. ISBN 9789681863661.
- ↑ «MATRIZ TRASPUESTA». p. 2.
Enlaces externos
editar- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Transposed_matrix&oldid=15848», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.