Mediana (geometría)

En geometría, la mediana, media o transversal de gravedad​ de un triángulo, es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas rojas) se cortan en el baricentro del mismo.

Propiedades

Las transversales de gravedad de un triángulo (líneas verdes) se cortan en el baricentro (centro de gravedad).

Para las medianas se anotan las siguientes propiedades:

• Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos, siendo lado común de ellos; dichos triángulos, en general, no son congruentes; pero sí equivalentes, de igual área, por ejemplo para el caso de la mediana AI (véase la figura) dichas regiones son los dos triángulos ΔABI y ΔACI de igual área.
• Las tres medianas se intersecan en un único punto, llamado baricentro, centroide o centro de gravedad.​
• Dos tercios de la longitud de cada mediana están entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante está entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.
• Para cualquier triángulo rectilíneo​ con lados $a,b,c$, medianas $m_{a},m_{b},m_{c}$ y perímetro $p$, se cumple la siguiente desigualdad:​

${\frac {3}{4}}p<\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)<{\frac {3}{2}}p$

• Para cualquier triángulo con lados $a,b,c$ y medianas $m_{a},m_{b},m_{c}$, $pr_{a}$ la proyección de $m_{a}$ sobre a, los elementos indicados verifican las siguientes ecuaciones:​

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}\;=\;{\tfrac {3}{4}}\;(a^{2}+b^{2}+c^{2}).$

$b^{2}+c^{2}=2m_{a}^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}$

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}$

$2a\times pr_{a}=b^{2}-c^{2}$

​

Relación con el centro de gravedad

Cada una de las tres medianas de un triángulo pasa por el centroide del mismo, el cual es coincidente con el centro de gravedad de un objeto con forma de triángulo (si éste es de densidad uniforme). Así, dicho objeto estaría en equilibrio en cualquier transversal de gravedad (línea que pase a través del centro de gravedad ), Las medianas son solo tres transversales de gravedad, del haz infinito de transversales de gravedad del triángulo.

Teorema de la mediana

fig. m1: Esquema con áreas → ( ${\scriptstyle {\color {Red}a^{2}}\;+\;{\color {Orange}b^{2}}\;=\;{\color {Blue}{\frac {1}{2}}\;c^{2}}\;+\;{\color {OliveGreen}2\;M^{2}}}$ ).

En geometría, el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, es una proposición que relaciona la longitud de la mediana de un triángulo con las longitudes de sus lados.

Teorema de Apolonio (teorema de la mediana) Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente. Apolonio de Perga

Para cualquier triángulo ΔABC (véase fig. m1), si m_c es la mediana correspondiente al lado c, donde AP = PB = ½ c, entonces :

$a^{2}+b^{2}={\frac {1}{2}}\;c^{2}+2\;m_{c}^{2}$

Fórmulas algebraicas de medianas en función de lados

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo). Estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla) :

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

$M_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}}$
$M_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-b^{2}}}$
$M_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}}$
$a={\sqrt {2\left(b^{2}+c^{2}\right)-4M_{a}^{2}}}$	$b={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2M_{a}^{2}}}$	$c={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2M_{a}^{2}}}$
$a={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2M_{b}^{2}}}$	$b={\sqrt {2\left(a^{2}+c^{2}\right)-4M_{b}^{2}}}$	$c={\sqrt {-a^{2}+{\frac {b^{2}}{2}}+2M_{b}^{2}}}$
$a={\sqrt {-b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}$	$b={\sqrt {-a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}+2M_{c}^{2}}}$	$c={\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4M_{c}^{2}}}$
( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: Ma, Mb y Mc )​ — ( Semilados: ma=na = ½ a , mb=nb = ½ b y mc=nc = ½ c ).

En el triángulo isósceles

$m_{a}=h_{a}=b_{A}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$; $m_{b}=m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+b^{2}}}$​

En el triángulo rectángulo

$m_{a}={\frac {a}{2}}$

$m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-3b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+3c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+4c^{2}}}$

$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-3c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+3b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}+c^{2}}}$​​

Triángulo medial

Se conoce con el nombre de triángulo medial respecto a otro triángulo al que tiene como vértices los puntos medios de un triángulo cualquiera dado.

Proposiciones

• Los lados de un triángulo medial son las bases medias de un triángulo dado.
• El baricentro de un triángulo coincide con el baricentro del triángulo medial.
• El área de un triángulo medial es 1/4 del área del triángulo original.
• Un triángulo medial es semejante al triángulo inicial​
• En cualquier triángulo isósceles la mediana correspondiente a la base es a la vez altura y bisectriz y es parte de la línea mediatriz de tal base.​

Mediana de un trapecio

En cualquier trapecio, se llama mediana al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Recibe también el nombre de paralela media.​ En algunos países (e.g. Chile) a la paralela media se le llama mediana, mientras que el concepto de mediana se llama allí transversal de gravedad.​

• La mediana del trapecio es paralela a las bases e igual a la semisuma de las mismas.​

Véase también

• Triángulo
• Ceviana
• Bisectriz
• Mediatriz
• Altura (geometría)
• Teorema de Stewart
• Teorema de Apolonio (Teorema de la mediana).
• Ley del paralelogramo.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Triangle Median». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q235001
• Multimedia: Median (geometry) / Q235001