Menor (álgebra lineal)

En álgebra lineal, un menor o menor complementario de una matriz $A$ es el determinante de alguna submatriz, obtenido de $A$ mediante la eliminación de una o más de sus filas o columnas. Los menores obtenidos por la eliminación de únicamente una fila y una columna de matrices cuadradas se llaman primeros menores y se necesitan para encontrar la matriz de cofactores, la cual es útil para calcular el determinante y la inversa de matrices cuadradas.

Cálculo de un determinante de orden 3 mediante la regla de Laplace. Para ello se utilizan algunos menores de la matriz.

Definición

Sea $A$ una matriz de $m\times n$ y $k$ un entero con $0<k\leq \min\{m,n\}$ , un menor de orden $k\times k$ de $A$ es el determinante de una matriz $k\times k$ obtenida de $A$ mediante la eliminación de $m-k$ filas y $n-k$ columnas.

Puesto que hay:

{m \choose k}

(leído como "m combinaciones de k")

maneras de escoger $k$ filas de $m$ filas, y hay

{n \choose k}

maneras de escoger $k$ columnas de $n$ columnas, hay en total

{m \choose k}\cdot {n \choose k}

menores de tamaño $k\times k$ .

Notación

El menor $(i,j)$ (a menudo denotado como $M_{ij}$ ) de una matriz cuadrada $A$ de $n\times n$ , es definido como el determinante de la matriz $(n-1)\times (n-1)$ formada mediante la eliminación de la $i$ -ésima fila y la $j$ -ésima columna de $A$ . Un menor $(i,j)$ puede ser referido también como $(i,j)$ -ésimo menor, o simplemente menor $ij$ .

$M_{ij}$ puede encontrarse también eliminando los índices correspondientes al elemento a_ij de la matriz $A$ , en cuyo caso decimos que $M_{ij}$ es el menor de $a_{ij}$

Un menor formado por la eliminación de una única fila y una única columna de una matriz cuadrada $A$ (tal como $M_{ij}$ ) es llamado primer menor. Cuando dos filas y dos columnas son eliminada, se le llama segundo menor.^[1]

Menores de una matriz

El determinante de cualquier submatriz de $k\times k$ de $A$ se llama menor de tamaño $k$ .

Si la submatriz es una submatriz principal, su determinante es un menor principal.

Tomando $A={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}$ La submatriz $B$ = $A[\{1,2\}]$ = ${\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\\\end{bmatrix}}$ es una submatriz principal y su determinante $|A|=(1)(1)-(2)(-1)=3$ es un menor principal.

Si la submatriz es una submatriz principal superior, su determinante es un menor principal superior.

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}$ En la misma matriz, las submatrices superiores son: $A_{1}=A[{1}]={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ ; $A_{2}=A[{1,2}]={\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\\\end{bmatrix}}$ ; $A_{3}=A[{1,2,3}]={\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&1&-1\\2&0&5\end{bmatrix}}=A$ Los determinantes de las submatrices | $A_{1}$ | = 1, | $A_{2}$ | = 3, | $A_{3}|$ = 5 son los menores escalonados superiores.

Si las submatriz es una submatriz principal inferior, su determinante es un menor principal inferior.

$A={\begin{bmatrix}5&4&3\\2&1&5\\2&0&5\end{bmatrix}}$ Las submatrices escalonadas inferiores de A son: $A_{1}=A[{1}]={\begin{bmatrix}5\end{bmatrix}}$ ; $A_{2}=A[{1,2}]={\begin{bmatrix}1&5\\0&5\\\end{bmatrix}}$ ; $A_{3}=A[{1,2,3}]={\begin{bmatrix}5&4&3\\2&1&5\\2&0&5\end{bmatrix}}=A$ Los determinantes de las submatrices $|A_{1}|=1$ , $|A_{2}|=5$ , $|A_{3}|=19$ son los menores inferiores principales.^[2]