Número primo supersingular (teoría algebraica de números)

En teoría de números algebraicos, un número primo supersingular​ para un curva elíptica dada es un número primo con cierta relación con esa curva. Si la curva E está definida sobre los números racionales, entonces un número primo p es supersingular para E si la reducción de E módulo p es una curva elíptica supersingular sobre el cuerpo residual F_p.

Noam Elkies demostró que toda curva elíptica sobre los números racionales tiene infinitos números primos supersingulares. Sin embargo, el conjunto de los primos supersingulares tiene densidad asintótica cero (si E no tiene multiplicación compleja).Lang y Trotter (1976) conjeturó que el número de primos supersingulares menores que un límite X está dentro de un múltiplo constante de ${\frac {\sqrt {X}}{\ln X}}$, utilizando heurísticas que involucran la distribución de valores propios del endomorfismo de Frobenius. A partir de 2019, esta conjetura está abierta.

De forma más general, si K es un cuerpo global cualquiera, es decir, un grado de extensión de un cuerpo de Q o de F_p(t), y A es una variedad abeliana definida sobre K, entonces un primo supersingular ${\mathfrak {p}}$ para A es una posición finita de K tal que la reducción de A módulo ${\mathfrak {p}}$ es una variedad abeliana supersingular.

Bibliografía

• Elkies, Noam D. (1987). «The existence of infinitely many supersingular primes for every elliptic curve over Q». Invent. Math. 89 (3): 561-567. Bibcode:1987InMat..89..561E. MR 0903384. S2CID 123646933. doi:10.1007/BF01388985. 
• Lang, Serge; Trotter, Hale F. (1976). Frobenius distributions in GL₂-extensions. Lecture Notes in Mathematics 504. New York: Springer Science+Business Media. ISBN 0-387-07550-X. Zbl 0329.12015. 
• Ogg, A. P. (1980). «Modular Functions». En Cooperstein, Bruce; Mason, Geoffrey, eds. The Santa Cruz Conference on Finite Groups. Held at the University of California, Santa Cruz, Calif., June 25–July 20, 1979. Proc. Symp. Pure Math. 37. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 521-532. ISBN 0-8218-1440-0. Zbl 0448.10021. 
• Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics 106. New York: Springer Science+Business Media. ISBN 0-387-96203-4. Zbl 0585.14026. 

• Datos: Q3343100