Punto antipodal

En matemáticas, el punto antipodal de un punto en la superficie de una esfera es el punto que es diametralmente opuesto a él, de modo que una línea trazada de uno a otro pasa a través del centro de la esfera y forma un diámetro verdadero.

Los puntos antipodales en un círculo están alejados 180 grados.

Este término se aplica a los puntos opuestos en un círculo o cualquier n-esfera.

A un punto antipodal a veces se llama una antípoda, una derivación regresiva de un préstamo lingüístico del griego antipodas, que originalmente significaba "opuesto a los pies".

Teoría

En matemáticas, el concepto de puntos antipodales se generaliza a esferas de cualquier dimensión: dos puntos en una esfera son antípodas si son opuestos a través del centro; Por ejemplo, tomando el centro como origen, son puntos con vectores relacionados v y -v. En un círculo, estos puntos también se llaman diametralmente opuestos. En otras palabras, cada recta que pasa a través del centro se interseca con la esfera en dos puntos, uno por cada dirección hacia fuera del centro, y estos dos puntos son antípodas.

El teorema de Borsuk-Ulam es un resultado de la topología algebraica que trata con tales pares de puntos. Dice que cualquier función continua de Sⁿ a Rⁿ mapea un par de puntos antipodales en Sⁿ al mismo punto en Rⁿ. Aquí, Sⁿ denota la esfera n-dimensional en el espacio (n + 1)-dimensional (donde la esfera "ordinaria" es S2 y un círculo es S1).

La aplicación antipodal A: Sⁿ → Sⁿ, definida por A(x) = -x, envía cada punto de la esfera a su punto antipodal. Es homotópico al mapa de identidad si n es impar, y su grado es (-1)ⁿ⁺¹.

Par de puntos antipodales en un polígono convexo

Un par antipodal en un polígono convexo es un par de puntos que admiten infinitas líneas paralelas que son tangentes a ambos puntos, incluidos en el antipodal, sin cruzar ninguna otra línea del polígono convexo.

Referencias

•  Este artículo incorpora texto de una publicación sin restricciones conocidas de derecho de autor:  Varios autores (1910-1911). «Antipodes». En Chisholm, Hugh, ed. Encyclopædia Britannica. A Dictionary of Arts, Sciences, Literature, and General information (en inglés) (11.ª edición). Encyclopædia Britannica, Inc.; actualmente en dominio público. 

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Punto antipodal», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Antipodal en PlanetMath.

• Datos: Q505356