Punto de inflexión

En la matemática, un punto de inflexión de una función, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva «atraviesa» la tangente.^[1] Matemáticamente, la segunda derivada de la función f en el punto de inflexión es cero,^[2]^[3] o no existe.^[4]

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar los puntos de x que cumplen esta condición. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero.^[5] Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es.^[6]^[7] Más concretamente:

Se halla la primera derivada de $f\rightarrow f'(x)$
Se halla la segunda derivada de $f\rightarrow f''(x)$
Se halla la tercera derivada de $f\rightarrow f'''(x)$
Se iguala la segunda derivada a 0: $f\,''(x)=0$
Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $x={\big \{}x_{1},x_{2},...,x_{n}/f''(x_{i})=0\quad \forall i=1,2,...,n{\big \}}$ .
Se halla la imagen de cada $x_{i}\,$ sustituyendo la variable dependiente en la función.
Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada $x_{i}\,$ :
1. Si $f'''\,(x_{i})\neq 0$ , se tiene un punto de inflexión en $P\,(x_{i},f(x_{i}))$ .
2. Si $f'''\,(x_{i})=0$ , debemos sustituir $x_{i}\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_{i}\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
  1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
  2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación $f(x)=x^{4}+2x$ no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en $x_{0}=0$ la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en $x_{0}=0$ es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que $f$ tampoco presenta un extremo en $x_{0}$ .

Galería de ejemplos

Derivada igual a cero

Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función creciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a máximo relativo.

Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función decreciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a mínimo relativo.

Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión.

Función continua y derivable en a

f'(a)= 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función estacionaria en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a punto de inflexión.

Derivada mayor que cero

Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a punto de inflexión.

Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de tangencia.

Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a punto de tangencia.

Función continua y derivable en a

f'(a)> 0

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión.

Derivada menor que cero

Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a punto de tangencia.

Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión.

Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a punto de inflexión.

Función continua y derivable en a

f'(a)< 0

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de tangencia.

Derivada infinita

Función continua y derivable en a

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Función creciente en a.

Para x < a la función es convexa.

Para x > a la función es cóncava.

Para x = a punto de inflexión vertical.

Función continua y derivable en a

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Función decreciente en a.

Para x < a la función es cóncava.

Para x > a la función es convexa.

Para x = a punto de inflexión vertical.

Notas y referencias

↑ Laorga Campos, Rosario; Urosa Laorga, María Elena (2014). «4.3». Pruebas Acceso Grado Superior: Matemáticas (1 edición). Editex. p. 269.
↑ J. Sortheix (1918). Apuntes de cálculo infinitesimal, Volumen 1 (1 edición). Coni. p. 411.
↑ Pérez de Muñoz, Ramon (1914). Elementos de cálculo infinitesimal (1 edición). A. Romo. p. 229.
↑ Tébar Flores, Emilio (2005). «9». Problemas de cálculo infinitesimal (1 edición). Tebar. p. 430. ISBN 978-847-360-206-8.
↑ García Pineda, Pilar; Núñez del Prado, José Antonio; Sebastián Gómez, Alberto (2007). «6.6». Iniciación a la matemática universitaria (1 edición). Editorial Paraninfo. p. 148. ISBN 978-84-9732-479-3.
↑ Pérez Romero, José Tomás (2004). «3.5». Matematicas. Prueba Especifica. (1 edición). Editorial MAD. p. 271. ISBN 84-665-1776-6.
↑ Engler, Adriana (2005). El calculo diferencial (1 edición). Universidad Nacional del Litoral. p. 236. ISBN 987-508-549-9.

Bibliografía

Ortiz Cerecedo, Francisco Javier; Ortiz Campos, Francisco José; Ortiz Cerecedo, Fernando José (2015). Cálculo Diferencial. Grupo Editorial Patria. ISBN 978-607-744-239-4.
Manjabacas, Guillermo; Martín, Isidoro; Orengo, José Javier; Valverde, José Carlos (2009). Lecciones de cálculo II (1 edición). Universidad de Castilla La Mancha. ISBN 978-84-8427-724-8.
Espinosa Herrera, Ernesto Javier; Canals Navarrete, Ignacio; Meda Vidal, Manuel (2008). Cálculo diferencial I. Problemas resueltos (1 edición). Editorial Reverte. ISBN 978-968-670-878-3.
George Brinton Thomas; Maurice D. Weir (2005). Cálculo de una variable. (11 edición). PRENTICE HALL MEXICO. ISBN 978-970-260-643-7.
Silva, Juan Manuel; Lazo, Adriana (1997). Fundamentos de matemáticas (1 edición). LIMUSA. ISBN 978-968-185-095-1.
Euler, Leonhard; Dou, Albert (1993). Método de máximos y mínimos (1 edición). Universidad Autònoma de Barcelona. ISBN 84-7929-709-3.
J. L. Boucharlat (1834). Elementos de cálculo diferencial y de cálculo integral (Gerónimo del Campo, trad.). Imprenta Real.
Vallejo, José Mariano (1832). Tratado elemental de matemáticas (2 edición). Imprenta de D. Miguel Burgos.
Lista, Alberto (1823). Elementos de matemáticas puras y mixtas (2 edición). Imprenta de D. León Amarita.
Bails, Benito (1797). Principios de matemática de la Real Academia de San Fernando. Tomo II (3 edición). Imprenta de la viuda de D. Joaquin Ibarra.