Relación reflexiva
En matemáticas, una relación reflexiva[1][2][3][4] o refleja es una relación binaria R sobre un conjunto A, de manera que todo elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir,
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/9/91/Relaci%C3%B3n_binaria_101.svg/480px-Relaci%C3%B3n_binaria_101.svg.png)
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En tal caso, se dice que R cumple con la propiedad de reflexividad.
Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R, entonces se dice que es irreflexiva, antirreflexiva o antirrefleja, lo que denotamos formalmente por:
En este caso, se dice que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.
Representación
editarSea una relación reflexiva o antirreflexiva aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.
Notación | Relación reflexiva | Relación antirreflexiva |
---|---|---|
Como pares ordenados | ||
Como matriz de adyacencia | La diagonal principal de la matriz contendrá solo 1's, es decir, | La diagonal principal de la matriz contendrá solo 0's, es decir, |
Como grafo | El grafo contendrá bucles en todos sus nodos. | El grafo no contendrá bucles en ninguno de sus nodos. |
Ejemplos
editarSea A un conjunto cualquiera:
- Sea , ("mayor o igual que") es reflexiva, pero ("mayor estricto que") no lo es.
- Sea , ("menor o igual que") es reflexiva, pero ("menor estricto que") no lo es.
- Sea , (la igualdad matemática), es reflexiva.
- Sea , (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
- Sea , (la divisibilidad) es reflexiva.
- Sea el conjunto de todas las rectos en el plano, la relación de paralelismo || entre rectas es reflexiva, porque toda recta es paralela a sí misma.
- Sea el conjunto de todas las rectas en el plano, la relación de perpendicularidad entre dos rectas es antirreflexiva, porque no hay rectas que sean perpendiculares a sí mismas.
- Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso alguien puede ser padre o madre de sí mismo.
Véase también
editarPropiedades de una relación binaria homogénea:
Referencias
editar- ↑ Bernard Kolman; Robert C. Busby; Sharon Ross (1997). «4.4». Estructuras de matemáticas discretas para la computación (Oscar Alfredo Palmas Velasco, trad.) (3 edición). PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA S.A. p. 124. ISBN 968-880-799-0.
- ↑ Villalpando Becerra, José Francisco; García Sandoval, Andrés (2014). «3.5». Matemáticas Discretas (1 edición). Grupo Editorial Patria. p. 65. ISBN 978-607-438-925-8.
- ↑ Caicedo Barrero, Alfredo; Wagner de Gardia, Graciela; Me¡éndez Parra, Rosa María (2010). «2.4». Introducción a la Teoría de Grafos (1 edición). Ediciones Elizcom. p. 19. ISBN 978-958-993-257-5.
- ↑ Richard Johnsonbaugh (2005). «3». Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 118. ISBN 978-970-260-637-6.