Serie geométrica
En matemáticas, una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tiene una razón constante entre sus términos sucesivos. Por ejemplo, la serie
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/e/e6/GeometricSquares.svg/220px-GeometricSquares.svg.png)
es geométrica porque cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por .
En general, una serie geométrica es escrita como
donde es el coeficiente de cada término y es la razón entre cada término sucesivo.
Las series geométricas son las series infinitas más simples y pueden ser utilizadas como una introducción básica a las series de Taylor y series de Fourier.
Razón común
editarLos términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.
El comportamiento de los términos depende de la razón común :
- Si los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
- Si los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.
Suma
editarLa suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.
Fórmula
editarPara , la suma de los primeros términos de una serie geométrica es:
donde es la razón común.
Cuando entonces la expresión anterior se reduce a
Demostración
editarSea
si multiplicamos ambos lados de la igualdad por entonces
realizando
por lo que
como entonces
De esta manera:
Ejemplo
editarDada la serie
La razón es y el primer término es , por lo que la suma de los primeros 10 términos de la serie (desde , hasta ) es:
Convergencia
editarSean entonces la serie
converge y su suma es
si .
Demostración
editarNotemos que
despejando de la ecuación anterior obtenemos
como entonces
En particular cuando
Ejemplo
editarDada la serie:
La razón de esta serie es , por el resultado anterior
por lo que .
Véase también
editarReferencias
editar- Weisstein, Eric W. «Geometric Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- geometric series en PlanetMath.
Enlaces externos
editar- Wikilibros alberga contenido sobre Series.