En cálculo , integración por sustitución , también conocido como cambio de variable , es un método para evaluar integrales y antiderivadas.[ 1] diferenciación .
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Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.
Calcular
∫
(
2
x
3
+
1
)
7
(
x
2
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx}
[ 2]
Sea
u
=
2
x
3
+
1
{\displaystyle u=2x^{3}+1}
d
u
d
x
=
6
x
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}
forma diferencial
d
u
=
6
x
2
d
x
{\displaystyle du=6x^{2}\,dx}
,
∫
(
2
x
3
+
1
)
7
(
x
2
)
d
x
=
1
6
∫
(
2
x
3
+
1
)
7
⏟
u
7
(
6
x
2
)
d
x
⏟
d
u
=
1
6
∫
u
7
d
u
=
1
6
(
1
8
u
8
)
+
C
=
1
48
(
2
x
3
+
1
)
8
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\end{aligned}}}
donde
C
∈
R
{\displaystyle C\in \mathbb {R} }
constante arbitraria de integración.
Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso. En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.
d
d
x
[
1
48
(
2
x
3
+
1
)
8
+
C
]
=
1
48
8
(
2
x
3
+
1
)
7
(
6
x
2
)
=
x
2
(
2
x
3
+
1
)
7
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]&={\frac {1}{48}}\;8(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})\\&=x^{2}(2x^{3}+1)^{7}\end{aligned}}}
Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.
Sea
φ
:
[
a
,
b
]
→
I
{\displaystyle \varphi :[a,b]\to I}
función continuamente diferenciable donde
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
∫
a
b
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
d
x
=
∫
φ
(
a
)
φ
(
b
)
f
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.}
La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.
La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.
Sean
f
{\displaystyle f}
φ
{\displaystyle \varphi }
f
{\displaystyle f}
I
{\displaystyle I}
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
′
{\displaystyle \varphi '}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
{\displaystyle f\left(\varphi (x)\right)\varphi '(x)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
∫
a
b
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx}
y
∫
φ
(
a
)
φ
(
b
)
f
(
u
)
d
u
{\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du}
existen y queda demostrar que son iguales.
Dado que
f
{\displaystyle f}
F
{\displaystyle F}
F
∘
φ
{\displaystyle F\circ \varphi }
φ
{\displaystyle \varphi }
regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos
(
F
∘
φ
)
′
(
x
)
=
F
′
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
=
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
.
{\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).}
Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos
∫
a
b
f
(
φ
(
x
)
)
φ
′
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
(
F
∘
φ
)
′
(
x
)
d
x
=
(
F
∘
φ
)
(
b
)
−
(
F
∘
φ
)
(
a
)
=
F
(
φ
(
b
)
)
−
F
(
φ
(
a
)
)
=
∫
φ
(
a
)
φ
(
b
)
f
(
u
)
d
u
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}
Considere la integral
∫
0
2
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}
Haga la sustitución
u
=
x
2
+
1
{\displaystyle u=x^{2}+1}
d
u
=
2
x
d
x
{\displaystyle du=2xdx}
x
d
x
=
1
2
d
u
{\displaystyle \textstyle xdx={\frac {1}{2}}du}
∫
x
=
0
x
=
2
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
=
1
2
∫
u
=
1
u
=
5
cos
(
u
)
d
u
=
sen
(
u
)
2
|
1
5
=
sen
(
5
)
−
sen
(
1
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&={\frac {\operatorname {sen}(u)}{2}}{\bigg |}_{1}^{5}\\&={\frac {\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)}{2}}.\end{aligned}}}
Dado que el límite inferior
x
=
0
{\displaystyle x=0}
u
=
1
{\displaystyle u=1}
x
=
2
{\displaystyle x=2}
2
2
+
1
=
5
{\displaystyle 2^{2}+1=5}
x
{\displaystyle x}
La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas. Uno escoge una relación entre
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
d
x
{\displaystyle dx}
d
u
{\displaystyle du}
Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método:
∫
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
=
1
2
∫
2
x
cos
(
x
2
+
1
)
d
x
=
1
2
∫
cos
u
d
u
=
1
2
sen
u
+
C
=
1
2
sen
(
x
2
+
1
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} u+C\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {sen}(x^{2}+1)+C\end{aligned}}}
donde
C
∈
R
{\displaystyle C\in \mathbb {R} }
constante arbitraria de integración.
Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original
u
=
x
2
+
1
{\displaystyle u=x^{2}+1}
La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno:
∫
tan
x
d
x
=
∫
sen
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx}
Utilizando la sustitución
u
=
cos
x
{\displaystyle u=\cos x}
d
u
=
−
sin
x
d
x
{\displaystyle du=-\sin x\,dx}
∫
tan
x
d
x
=
∫
sen
x
cos
x
d
x
=
∫
−
d
u
u
=
−
ln
|
u
|
+
C
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
=
ln
|
sec
x
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}}
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Uno también puede utilizar el método de sustitución cuando integra funciones de varias variables. Aquí la función de sustitución
(
v
1
,
…
,
v
n
)
=
φ
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})=\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}
inyectiva y continuamente diferenciable, los diferenciales se transforman como
d
v
1
⋯
d
v
n
=
|
det
(
D
φ
)
(
u
1
,
…
,
u
n
)
|
d
u
1
⋯
d
u
n
,
{\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n},}
donde
det
(
D
φ
)
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle \det(D\varphi )(u_{1},\dots ,u_{n})}
determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de
φ
{\displaystyle \varphi }
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})}
De manera más precisa, el fórmula del cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema
Teorema . Sean
U
{\displaystyle U}
subconjunto abierto en
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
función diferenciable inyectiva con derivadas parciales continuas entonces para cualquier función continua real
f
{\displaystyle f}
φ
(
U
)
{\displaystyle \varphi (U)}
∫
φ
(
U
)
f
(
v
)
d
v
=
∫
U
f
(
φ
(
u
)
)
|
det
(
D
φ
)
(
u
)
|
d
u
.
{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}
Para funciones Lebesgue medibles, el teorema puede enunciarse de la siguiente forma:[ 3]
Teorema . Sean
U
{\displaystyle U}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
φ
′
(
x
)
∈
R
n
,
n
{\displaystyle \varphi '(x)\in \mathbb {R} ^{n,n}}
φ
(
y
)
=
φ
(
x
)
+
φ
′
(
x
)
(
y
−
x
)
+
o
(
|
|
y
−
x
|
|
)
{\displaystyle \varphi (y)=\varphi (x)+\varphi '(x)(y-x)+o(||y-x||)}
y
→
x
{\displaystyle y\to x}
φ
(
U
)
{\displaystyle \varphi (U)}
f
{\displaystyle f}
φ
(
U
)
{\displaystyle \varphi (U)}
∫
φ
(
U
)
f
(
v
)
d
v
=
∫
U
f
(
φ
(
u
)
)
|
det
φ
′
(
u
)
|
d
u
{\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}
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La sustitución puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad: dada una variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
p
X
{\displaystyle p_{X}}
Y
{\displaystyle Y}
Y
=
ϕ
(
X
)
{\displaystyle Y=\phi (X)}
Y
{\displaystyle Y}
Es muy fácil responder esta pregunta respondiendo primero: ¿cuál es la probabilidad de que
Y
{\displaystyle Y}
S
{\displaystyle S}
P
(
Y
∈
S
)
{\displaystyle P(Y\in S)}
Y
{\displaystyle Y}
p
Y
{\displaystyle p_{Y}}
P
(
Y
∈
S
)
=
∫
S
p
Y
(
y
)
d
y
,
{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}
pero esto realmente no es útil pues no sabemos quién es
p
Y
{\displaystyle p_{Y}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
ϕ
−
1
(
S
)
{\displaystyle \phi ^{-1}(S)}
P
(
Y
∈
S
)
=
∫
ϕ
−
1
(
S
)
p
X
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}
cambiando de variable
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
P
(
Y
∈
S
)
=
∫
ϕ
−
1
(
S
)
p
X
(
x
)
d
x
=
∫
S
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
d
ϕ
−
1
d
y
|
d
y
.
{\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}
combinando esto con la primera ecuación tendremos
∫
S
p
Y
(
y
)
d
y
=
∫
S
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
d
ϕ
−
1
d
y
|
d
y
,
{\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}
por lo que
p
Y
(
y
)
=
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
d
ϕ
−
1
d
y
|
.
{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}
En el caso en el que
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
p
X
=
p
X
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
y
=
ϕ
(
x
)
{\displaystyle y=\phi (x)}
p
Y
{\displaystyle p_{Y}}
p
Y
(
y
)
=
p
X
(
ϕ
−
1
(
y
)
)
|
det
D
ϕ
−
1
(
y
)
|
.
{\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}
Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Calculus /Early Transcendentals (Single Variable edición), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3 Ferzola, Anthony P. (1994), «Euler and differentials» , The College Mathematics Journal 25 (2): 102-111, doi :10.2307/2687130 el original el 7 de noviembre de 2012, consultado el 6 de abril de 2021 Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2 , Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4 Hewitt, Edwin ; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7 Katz, V. (1982), «Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan», Mathematics Magazine 55 (1): 3-11, doi :10.2307/2689856 Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1 Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (alternate edición), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7 Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]&={\frac {1}{48}}\;8(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})\\&=x^{2}(2x^{3}+1)^{7}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5fbab7453c0091bbeb748a17c933a079ba871a)
![{\displaystyle \varphi :[a,b]\to I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9d97f5e44784fbab6b2a92878d270e4532cf59)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Datos: Q1071270