Teorema de Niven

En matemáticas, el teorema de Niven, que lleva el nombre del matemático estadounidense Ivan Morton Niven (1915-1999), establece que:

Teorema de Niven: Los únicos valores racionales de un ángulo θ en el intervalo 0° ≤ θ ≤ 90° para los que el seno de θ es también un número racional, son:​ ${\begin{aligned}\operatorname {sen} 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\operatorname {sen} 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\operatorname {sen} 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}$

En radianes, se requeriría que 0 ≤ x ≤ ^π⁄₂, que ^x⁄_π sea racional, y que sen x también sea racional. La conclusión es que los únicos valores de este tipo son sen 0 = 0, sen ^π⁄₆ = ¹⁄₂, y sen ^π⁄₂ = 1.

El teorema aparece como el Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales.​

El teorema también se extiende a las otras funciones trigonométricas.​ Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o del coseno son 0, ±¹⁄₂ y ±1; Los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ±1 y ±2; y los únicos valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ±1.​

Véase también

• Terna pitagórica, que forma triángulos rectángulos donde las funciones trigonométricas siempre tomarán valores racionales, aunque los ángulos agudos no son racionales
• Función trigonométrica
• Número trigonométrico
• Polinomio mínimo de valores trigonométricos especiales

Lecturas relacionadas

• Olmsted, J. M. H. (1945). «Rational values of trigonometric functions». Amer. Math. Monthly 52 (9): 507-508. JSTOR 2304540. 
• Lehmer, Derik H. (1933). «A note on trigonometric algebraic numbers». Amer. Math. Monthly 40 (3): 165-166. JSTOR 2301023. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Niven's Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (en inglés)
• Niven's Theorem en ProofWiki (en inglés)

• Datos: Q4116459