Teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados

En matemáticas, específicamente en la teoría del análisis funcional y de los espacios de Hilbert, los teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados son generalizaciones de los teoremas de Hahn–Banach a partir de funcionales lineales (que siempre se valoran en los números reales $\mathbb {R}$ o en los números complejos $\mathbb {C}$ ) sobre operadores lineales valorados en espacios vectoriales topológicos (EVTs).

Definiciones

En $X$ e $Y$ habrá espacios vectoriales topológicos (EVTs) sobre el cuerpo $\mathbb {K}$ ; y $L(X; Y)$ denotarán el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas de $X$ a $Y$ , donde si $X$ e $Y$ son espacios normados, entonces se dota a $L(X; Y)$ con su norma operatoria canónica.

Extensiones

Si $M$ es un subespacio vectorial de un EVT $X$ , entonces $Y$ tiene la propiedad de extensión de $M$ a $X$ si cada aplicación lineal continua $f : M \to Y$ tiene una extensión lineal continua para todo $X$ . Si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales normados, entonces se dice que $Y$ tiene la propiedad de extensión métrica de $M$ a $X$ si se puede elegir que esta extensión lineal continua tenga una norma igual a $| f |$ .

Un EVT $Y$ tiene la propiedad de extensión de todos los subespacios de $X$ (a $X$ ) si para cada subespacio vectorial $M$ de $X$ , $Y$ tiene la propiedad de extensión de $M$ a $X$ . Si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales normados, entonces $Y$ tiene la propiedad de extensión métrica de todo el subespacio de $X$ (a $X$ ) si para cada subespacio vectorial $M$ de $X$ , $Y$ tiene la propiedad de extensión métrica de $M$ a $X$ .

Un EVT $Y$ tiene la propiedad de extensión^[1] si para cada espacio localmente convexo $X$ y cada subespacio vectorial $M$ de $X$ , $Y$ tiene la propiedad de extensión de $M$ a $X$ .

Un espacio de Banach $Y$ tiene la propiedad de extensión métrica^[1] si para cada espacio de Banach $X$ y cada subespacio vectorial $M$ de $X$ , $Y$ tiene la propiedad de extensión métrica de $M$ a $X$ .

1-extensiones

Si $M$ es un subespacio vectorial del espacio normado $X$ sobre el cuerpo $\mathbb {K}$ , entonces un espacio normado $Y$ tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de $M$ a $X$ si para cada $x \notin M$ , cada aplicación lineal continua $f : M \to Y$ tiene una extensión $F:M\oplus (\mathbb {K} x)\to Y$ tal que $| f | = | F |$ . Se dice que $Y$ tiene la propiedad inmediata de 1-extensión si $Y$ tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de $M$ a $X$ para cada espacio de Banach $X$ y cada subespacio vectorial $M$ de $X$ .

Espacios inyectivos

Un espacio localmente convexo $Y$ es inyectivo^[1] si para cada espacio localmente convexo $Z$ que contiene $Y$ como un subespacio vectorial topológico, existe una proyección continua desde $Z$ hasta $Y$ .

Un espacio de Banach $Y$ es 1-inyectivo^[1] o un espacio $P 1$ si para cada espacio de Banach $Z$ contiene $Y$ como un subespacio vectorial normado (es decir, la norma de $Y$ es idéntica a la restricción habitual a $Y$ de la norma de $Z$ ), existe una proyección continua de $Z$ a $Y$ que tiene la norma 1.

Propiedades

Para que un EVT $Y$ tenga la propiedad de extensión, debe ser completo (ya que debe ser posible extender la función identidad $\mathbf {1} :Y\to Y$ desde $Y$ hasta la completación $Z$ de $Y$ ; es decir, a la aplicación $Z \to Y$ ).^[1]

Existencia

Si $f : M \to Y$ es un aplicación lineal continua desde un subespacio vectorial $M$ de $X$ a un espacio de Hausdorff completo $Y$ , entonces siempre existe una extensión lineal continua única de $f$ desde $M$ hasta el cierre de $M$ en $X$ .^[1]^[2] En consecuencia, basta con considerar únicamente aplicaciones de subespacios vectoriales cerrados a espacios completos de Hausdorff.^[1]

Resultados

Cualquier espacio localmente convexo que tenga la propiedad de extensión es inyectivo.^[1] Si $Y$ es un espacio de Banach inyectivo, entonces para cada espacio de Banach $X$ , cada operador lineal continuo de un subespacio vectorial de $X$ a $Y$ tiene una extensión lineal continua a todo $X$ .^[1]

En 1953, Alexander Grothendieck demostró que cualquier espacio de Banach con la propiedad de extensión es de dimensión finita, o no es separable.^[1]

Teorema^[1]

Supóngase que $Y$ es un espacio de Banach sobre el campo $\mathbb {K} .$ Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

$Y$ es 1-inyectivo;

$Y$ tiene la propiedad de extensión métrica;

$Y$ tiene la propiedad inmediata de 1-extensión;

$Y$ tiene la propiedad de radio central;

$Y$ tiene la propiedad de intersección débil;

$Y$ tiene 1-complemento en cualquier espacio de Banach en el que esté inmersa una norma;

Siempre que $Y$ esté inmerso en una norma en un espacio de Banach $X$ , la aplicación identidad $\mathbf {1} :Y\to Y$ se puede extender a una aplicación lineal continua de la norma $1$ a $X$ ;

$Y$ es linealmente isométrico a $C\left(T,\mathbb {K} ,\|{\dot {}}\|_{\infty }\right)$ para algunos espacios de Hausdorff compactos extremadamente desconectados $T$ . Este espacio $T$ es único excluidos homeomorfismos.

Si además, $Y$ es un espacio vectorial sobre los números reales, entonces se puede agregar a esta lista:

$Y$ tiene la propiedad de intersección binaria;

$Y$ es linealmente isométrico a un retículo vertorial completo con orden arquimediano con unidad de orden y dotado de la norma de unidad de orden.

Teorema^[1]

Supóngase que $Y$ es un espacio de Banach real con la propiedad de extensión métrica. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:

$Y$ es reflexivo;

$Y$ es separable;

$Y$ es de dimensión finita;

$Y$ es linealmente isométrico a $C\left(T,\mathbb {K} ,\|\cdot \|_{\infty }\right),$ para algún espacio finito discreto $T$

.

Ejemplos

Productos del cuerpo subyacente

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb {K}$ , donde $\mathbb {K}$ es $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ y sea $T$ cualquier conjunto. Sea $Y:=\mathbb {K} ^{T}$ , que es el producto de $\mathbb {K}$ tomado por $|T|$ , o de manera equivalente, el conjunto de todas las funciones con valores $\mathbb {K}$ en $T$ . Confiriendo a $Y$ su topología producto habitual, lo que lo convierte en un EVT de Hausdorff localmente convexo. Entonces, $Y$ tiene la propiedad de extensión.^[1]

Para cualquier conjunto $T$ , el espacio Lp $\ell ^{\infty }(T)$ tiene tanto la propiedad de extensión como la propiedad de extensión métrica.

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Narici y Beckenstein, 2011, pp. 341–370.
↑ Rudin, 1991, p. 40 Indicado para aplicaciones lineales en espacios F únicamente; describe la demostración.

Bibliografía

Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

Datos: Q97164896

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011341–370-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m Narici y Beckenstein, 2011, pp. 341–370.

[2] Rudin, 1991, p. 40 Indicado para aplicaciones lineales en espacios F únicamente; describe la demostración.

[1]

[2]