Binomio

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.

Ejemplos

$a+b$ .
$a^{2}b^{5}c^{2}z-b^{3}c^{9}d^{2}$ .
$3\tan ^{2}\phi \,-\,{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}$ : es una diferencia de expresiones trigonométricas.

Binomios notables

$x^{2}+y^{2}$ . Suma de cuadrados.
$x^{2}-y^{2}$ . Diferencia de cuadrados.
$x^{3}+y^{3}$ . Suma de cubos.
$x^{3}-y^{3}$ . Diferencia de cubos.
$x^{n}+y^{n}$ . Suma de n-esimas potencias.^[1]
$x^{n}-y^{n}$ . Diferencia de n-ésimas potencias.^[2]

Operaciones con binomios

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

$c(a+b)=ca+cb$

o realizando la operación:

${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &&c\\\hline &ca&+cb\end{array}}$

Representación gráfica de la regla de factor común

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy

O también:

{\begin{array}{rrr}&4x&-6y\\\times &&3x\\\hline &12x^{2}&-18xy\end{array}}

Suma por diferencia

El binomio $a^{2}-b^{2}$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

.

Demostración:

{\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&-b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}

b²+a²

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: $a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}$ .

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales $(ax+b)$ $(cx+d)$ es:

(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd

{\begin{array}{rrr}&ax&+b\\\times &cx&+d\\\hline &adx&+bd\\acx^{2}&+bcx&\\\hline acx^{2}&+(ad+bc)x&+bd\end{array}}

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe: $(a+b)^{n}$ , y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: $(p+q)^{2}$

Cuadrado de un binomio

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ .

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&+b\\\hline &+ab&+b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma $a^{2}+2ab+b^{2}$ , se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&+b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}$

Ejemplo:

(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática $y=x^{2}$ , se desarrolla el binomio ${(x+h)}^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ . El coeficiente del término en $h$ que es $2x$ es la derivada de $x^{2}$ . Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de $h$ , el término lineal es $2xh$ .

Igualmente, para $y=x^{3}$ se desarrolla $(x+h)^{3}$ . En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de $h$ es $3x^{2}$ , que es la derivada de $x^{3}$ .