CW-complejo

En topología y geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en topología (especialmente en topología algebraica) y en geometría diferencial. Las letras CW significan Closure finite-Weak topology , topología débil de clausura finita.

Definición

Célula

En topología se denomina célula a un espacio topológico $e$ que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún entero no negativo $n\geq 0$ de manera que $e\sim \mathbb {R} ^{n}$ (donde $\sim$ representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que $e$ es una $n$-célula, y que la dimensión de $e$ es $n$ (denotado por $|e|:=dim(e)=n$).

Descomposición celular

Sea $X$ un espacio topológico. Se dice que el par $(X,{\mathcal {E}})$ es una descomposición celular de $X$ si ${\mathcal {E}}$ es una partición de $X$ en células, es decir, cada elemento de ${\mathcal {E}}$ es una célula, $X$ es la unión de todos los elementos de ${\mathcal {E}}$ y dos elementos distintos de ${\mathcal {E}}$ son disjuntos (si $e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}}$ y $e_{1}\neq e_{2}$, entonces $e_{1}\cap e_{2}=\varnothing$).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo $n$ una descomposición celular $(X,{\mathcal {E}})$ de $X$, se denomina conjunto de $n$-células a la unión de todas las células de dimensión $n$ (es decir, a $\bigcup _{e\in {\mathcal {E}}:|e|=n}e$). Se denomina así mismo $n$-esqueleto al conjunto $X^{n}:=\bigcup _{e\in {\mathcal {E}}:|e|\leq n}e$, es decir, a la unión de los conjuntos de $m$-células, cuando $m\leq n$.

Si existiese algún $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ de forma que $X=X^{n}$, diremos que $X$ tiene dimensión finita. En ese caso, al menor $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ de forma que $X=X^{n}$ se le denomina dimensión de $X$ ($n=dim(X)$). En caso contrario (es decir, si $X$ no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de $X$ es infinita ($dim(X)=\infty$). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si $X$ es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

Complejos celulares

Sea $(X,{\mathcal {E}})$ una descomposición celular. Se dice que $(X,{\mathcal {E}})$ es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que $(X,{\mathcal {E}})$ es una CW-descomposición de $X$, o que $(X,{\mathcal {E}})$ es una descomposición de tipo CW de $X$) si se cumple las siguientes condiciones:

• Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula $e\in {\mathcal {E}}$ existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula $e$) $\Phi _{e}:{\overline {B}}^{n}\longrightarrow X$ de tal forma que $\Phi _{e}|{B^{n}}$ es un homeomorfismo entre $B^{n}$ y $e$, y $\Phi _{e}(S^{n-1})\subseteq X^{n-1}$ (donde aquí $n=dim(e)$, ${\overline {B}}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||\leq 1\}$, es decir, ${\overline {B}}^{n}$ representa a la bola cerrada de $\mathbb {R} ^{n}$ centrada en le origen y de radio 1, $B^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||<1\}$, es decir, $B^{n}$ representa a la bola abierta de $\mathbb {R} ^{n}$ centrada en el origen y de radio 1 y $S^{n-1}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||=1\}$ es la esfera de $\mathbb {R} ^{n}$ centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de $\Phi _{e}$ a $S^{n-1}$ (esto es a $\phi _{e}:=\Phi _{e}|_{S^{n-1}}$) se la denomina aplicación sujeción para la célula $e$.
• Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula $e\in {\mathcal {E}}$, su clausura ${\overline {e}}$ está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, ${\overline {e}}$ tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
• Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto $F\subset X$ es cerrado cuando y sólo cuando $F\cap {\overline {e}}$ lo es (cerrado) en ${\overline {e}}$, cualquiera que sea la célula $e\in {\mathcal {E}}$.

• Datos: Q189061