Distribución beta

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución beta es una familia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el intervalo $(0,1)$ parametrizada por dos parámetros positivos de forma, denotados por $\alpha$ y $\beta$, que aparecen como exponentes de la variable aleatoria y controlan la forma de la distribución.

Beta
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\alpha >0$ forma (real) $\beta >0$ forma (real)
Dominio	$x\in (0,1)$
Función de densidad (pdf)	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$
Función de distribución (cdf)	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$
Media	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$
Moda	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ para $\alpha >1,\beta >1$
Varianza	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$
Coeficiente de simetría	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Función generadora de momentos (mgf)	$1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}$
Función característica	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$

La generalización de esta distribución a varias variables es conocida como la distribución de Dirichlet.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución beta con parámetros $\alpha ,\beta >0$ entonces escribiremos $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$.

Otras notaciones para la distribución beta usadas son $X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )$, $X\sim {\mathcal {Be}}(\alpha ,\beta )$ o $X\sim \beta _{\alpha ,\beta }$.

Función de densidad

La función de densidad de $X$ es

$f_{X}(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$

para valores $0<x<1$ donde $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ es la función beta y se define para $\alpha ,\beta >0$ como

$\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx$

y algunas de las propiedades que satisface son:

1. $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\beta ,\alpha )$
2. $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$

Función de distribución

La función de distribución de $X$ es

$F_{X}(x)={\frac {\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )$

donde $\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )$ es la función beta incompleta y $I_{x}(\alpha ,\beta )$ es la función beta incompleta regularizada.

Propiedades

Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria $X$ es

${\text{E}}[X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$

Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$ es

${\text{Var}}(X)={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )^{2}}}$.

Moda

La moda de la variable aleatoria $X$ es

${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$

para valores de $\alpha ,\beta >1$.

Momentos

El $n$-ésimo momento de $X$ es

${\begin{aligned}{\text{E}}[X^{n}]&={\frac {\mathrm {B} (\alpha +n,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha +\beta )}}\\&=\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\\&={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\cdots (\alpha +\beta +n-1)}}\end{aligned}}$

para $n\in \mathbb {N}$.

Función generadora de momentos

La función generador de momentos de la variable aleatoria $X$ está dada por

${\begin{aligned}M_{X}(t)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +n,\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}\end{aligned}}$

Media geométrica

El logaritmo de la media geométrica $G_{X}$ de una distribución con variable aleatoria $X$ es la media aritmética de $\ln(X)$ o equivalentemente, su valor esperado:

$\ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]$

Para una distribución beta:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln xf_{X}(x)dx\\&=\int _{0}^{1}\ln x\;{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\;dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$

donde $\psi$ es la función digamma.

Distribuciones relacionadas

Transformaciones

• Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ entonces $1-X\sim \mathrm {B} (\beta ,\alpha )$.
• Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )$ entonces ${\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )$, la distribución beta de segundo orden.
• Si $X\sim \mathrm {B} \left({\frac {n}{2}},{\frac {m}{2}}\right)$ entonces ${\frac {mX}{n(1-X)}}\sim F_{n,m}$.
• Si $X\sim \mathrm {B} (\alpha ,1)$ entonces $-\ln(X)\sim \operatorname {Exponencial} (\alpha )$.

Casos particulares

• Si $X\sim \mathrm {B} (1,1)$ entonces $X\sim \operatorname {U} (0,1)$.
• $\lim _{n\to \infty }n\mathrm {B} (1,n)=\operatorname {Exponencial} (1)$.
• $\lim _{n\to \infty }n\mathrm {B} (k,n)=\Gamma (k,1)$.
• Un caso partícular de la Distribución Beta es la Distribución PERT que toma tres parámetros: Optimista, más frecuente y pesimista.

Véase también

• Función beta
• Distribución gamma
• Distribución PERT
• PERT

Animación de la función de densidad de la distribución Beta para diferentes valores de sus parámetros

• Datos: Q756254
• Multimedia: Beta distribution / Q756254