En matemáticas , una función homogénea [ 1] función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar , entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad , o simplemente el grado ; es decir, si k es un número entero, una función f de variables n es homogénea de grado k si
f
(
s
x
1
,
…
,
s
x
n
)
=
s
k
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}
para cada
x
1
,
…
,
x
n
,
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}
s
≠
0.
{\displaystyle s\neq 0.}
Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal ).
Cualquier función lineal
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W\,}
f
(
α
v
)
=
α
f
(
v
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
para todo
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V}
multilineal
f
:
V
1
×
…
×
V
n
→
W
{\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W}
n , por definición.
f
(
α
v
1
,
…
,
α
v
n
)
=
α
n
f
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}
para todo
α
∈
F
{\displaystyle \alpha \in F}
v
1
∈
V
1
,
…
,
v
n
∈
V
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}}
n -ésima derivada de Fréchet de una función
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
espacios de Banach
X
{\displaystyle X\,}
Y
{\displaystyle Y\,}
n
{\displaystyle n\,}
Los monomios de
n
{\displaystyle n}
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
5
y
2
z
3
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}
es homogénea de grado 10 puesto que:
f
(
α
x
,
α
y
,
α
z
)
=
(
α
x
)
5
(
α
y
)
2
(
α
z
)
3
=
α
10
x
5
y
2
z
3
=
α
10
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z)\,}
Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,
x
5
+
2
x
3
y
2
+
9
x
y
4
{\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,}
es un polinomio homogéneo de grado 5.
Supongamos que una función
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
infinitamente diferenciable . Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:
x
⋅
∇
f
(
x
)
=
k
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}
Teorema: Sea
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
diferenciable y homogénea de grado k . Entonces sus derivadas parciales de primer orden
∂
f
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}
k -1. es decir
∂
∂
x
i
f
(
α
x
)
=
α
k
−
1
∂
∂
x
i
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.
Demostración
Sea
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbf {R} ^{n}}
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})}
Por homogeneidad de la función
f
{\displaystyle f}
f
(
α
x
)
=
α
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
Se define
y
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}}
y
=
α
x
{\displaystyle y=\alpha x}
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
f
(
y
)
=
α
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a
x
i
{\displaystyle x_{i}\,}
∂
∂
x
i
f
(
y
)
=
∂
∂
x
i
α
k
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}
por regla de la cadena la expresión se vuelve:
∂
∂
y
i
f
(
y
)
∂
y
i
∂
x
i
=
α
k
∂
∂
x
i
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
Sustituyendo nuevamente
y
=
α
x
{\displaystyle y=\alpha x}
∂
∂
y
i
f
(
α
x
)
∂
(
α
x
i
)
∂
x
i
=
α
k
∂
∂
x
i
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} ){\frac {\partial (\alpha x_{i})}{\partial x_{i}}}=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
∂
∂
x
i
f
(
α
x
)
α
=
α
k
∂
∂
x
i
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {\alpha x} )\alpha =\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
y finalmente da el resultado que se quiere obtener:
∂
∂
x
i
f
(
α
x
)
=
α
k
−
1
∂
∂
x
i
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}
La substitución
v
=
y
/
x
{\displaystyle v=y/x}
ecuación diferencial ordinaria (EDO)
I
(
x
,
y
)
d
y
d
x
+
J
(
x
,
y
)
=
0
,
{\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}
Donde
I
{\displaystyle I\,}
J
{\displaystyle J\,}
x
d
v
d
x
=
−
J
(
1
,
v
)
I
(
1
,
v
)
−
v
{\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}
Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán) . Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9 
Datos: Q1132952