Límite (matemática)

valor al que una función o secuencia se aproxima a medida que la entrada o el índice se acerca a cierto valor
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En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. En el análisis los conceptos de series convergentes, derivada e integral definida se fundamentan mediante el concepto de límite.

En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante como en ; o se representa mediante la flecha () como en .

Historia

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Según Hermann Hankel (1871), el concepto moderno de límite tiene su origen en la Proposición X.1 de los Elementos de Euclides, que constituye la base del Método de agotamiento encontrado en Euclides y Arquímedes: "Expuestas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad, y de la que queda una magnitud mayor que su mitad, y si este proceso se repite continuamente, entonces quedará alguna magnitud menor que la magnitud menor expuesta. "[1][2]

Grégoire de Saint-Vincent dio la primera definición de límite (terminus) de una serie geométrica en su obra Opus Geometricum (1647): "El terminus de una progresión es el final de la serie, al que ninguna progresión puede llegar, aunque no se la continúe en el infinito, pero al que puede acercarse más que a un segmento dado. "[3]

La definición moderna de límite se remonta a Bernard Bolzano quien, en 1817, desarrolló los fundamentos de la técnica épsilon-delta para definir funciones continuas. Sin embargo, su trabajo fue desconocido para otros matemáticos hasta treinta años después de su muerte.[4]

Augustin-Louis Cauchy en 1821,[5]​ seguido por Karl Weierstrass, formalizó la definición del límite de una función que se conoció como la definición (ε, δ) de límite.

La notación moderna de colocar la flecha debajo del símbolo de límite se debe a G. H. Hardy, quien la introdujo en su libro Un curso de matemáticas puras en 1908.[6][7]

Límite de una sucesión

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La sucesión   para   converge al valor 0, como se puede observar en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto  , si existe, para valores grandes de  . Esta definición es muy parecida a la definición de cuando tiende a  .

Formalmente, se dice que la sucesión   tiende hasta su límite  , o que converge o es convergente (a  ), y se denota como:

 

si, y solo si para todo valor real   se puede encontrar un número natural   tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural   mayor que  , se acerquen a   cuando   crezca ilimitadamente. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:

   

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función

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Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado cpunto de acumulación —, independientemente de que este pertenezca al dominio de la función.[8]​ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Coloquialmente, se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende a c es L , y se escribe:

 

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

 

Esta definición es equivalente al límite de una sucesión, una función es continua si:

 

Límite de una sucesión de conjuntos

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En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera  , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

 

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

 

Límite en espacios topológicos

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Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.

Sea   un espacio topológico y   una red en  . Se dice que   es un punto límite de la red   si la red está finalmente en cada entorno de  , es decir, si cualquiera que sea el entorno   de   (esto es, cualquiera que sea el conjunto   de forma que exista un abierto   tal que  ) existe un   de tal forma que para cada   con   se cumple que  .

Filtros

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En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como Bx o  , si para todo entorno U de x, existe un B0B tal que B0U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.[9][10]

De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a estas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: XY es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como

 

si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.[9]

Límite de Banach

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En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo   definido sobre el espacio de Banach   para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si   es una sucesión convergente, entonces  , generalizando el concepto de límite. Por lo tanto,   es una extensión del funcional continuo  [11]

En particular, la existencia del límite de Banach no es única.[11]

Límites en teoría de categorías

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En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.


Tipos de límites

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Ilustración del límite de una función cuando x tiende a infinito

El infinito como límite

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También existe la noción de que un límite «tienda al infinito», en lugar de a un valor finito  . Una sucesión   se dice que "tiende al infinito" si, para cada número real  , conocido como la frontera, existe un número entero   tal que para cada  ,   O sea, para toda frontera posible, la sucesión llegará a exceder la frontera. A menudo ello se expresa de la siguiente manera   o simplemente  .

Es posible que una sucesión sea divergente, pero no tienda al infinito. Tales sucesiones se denominan oscilatorias. Por ejemplo una sucesión oscilatoria es  .

Existe una noción correspondiente de tendencia al infinito negativo,  , definida modificando la desigualdad en la definición previa a   con  

Una sucesión   con   es denominada sin frontera, una definición también válida para sucesiones de números complejos, o en cualquier espacio métrico. Las secuencias que no tienden a infinito se denominan acotadas. Las sucesiones que no tienden a un infinito positivo son denominadas acotadas por arriba, mientras que aquellas que no tienden a un infinito negativo son denominadas acotadas por abajo.

Conjunto límite de una trayectoria

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Esta noción se utiliza en sistemas dinámicos, para estudiar los límites de las trayectorias. Definiendo una trayectoria como una función  , el punto   define la "posición" de la trayectoria en al "tiempo"  . El conjunto límite de una trayectoria se define como sigue. Para cualquier sucesión de tiempos crecientes  , existe una sucesión asociada de posiciones  . Si   es el límite de la sucesión   para cualquier sucesión de tiempos crecientes, entonces   es un conjunto límite de la trayectoria. Técnicamente, este es el conjunto límite  . El correspondiente conjunto de límites para sucesións de tiempo decreciente se denomina el conjunto límite  .

Un ejemplo ilustrativo es la trayectoria circular:  . La misma no posee un límite único, pero para cada  , el punto   es un punto límite, dada la sucesión de tiempos  . Pero no es necesario que los puntos límite sean alcanzados por la trayectoria. La trayectoria   también tiene al círculo unitario somo su conjunto límite.

Véase también

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Referencias

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  1. Schubring, Gert (2005). Conflictos entre generalización, rigor e intuición: conceptos numéricos subyacentes al desarrollo del análisis en la Francia y la Alemania de los siglos XVII-XIX. New York: Springer. pp. 22-23. ISBN 0387228365. 
  2. clarku.edu/~djoyce/elements/bookX/propX1.html «Elementos de Euclides, Libro X, Proposición 1». aleph0.clarku.edu. 
  3. Van Looy, Herman (1984). «Cronología y análisis histórico de los manuscritos matemáticos de Gregorius a Sancto Vincentio (1584-1667)». Historia Mathematica 11 (1): 57-75. doi:10.1016/0315-0860(84)90005-3. 
  4. Felscher, Walter (2000), «Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta», American Mathematical Monthly 107 (9): 844-862, JSTOR 2695743, doi:10.2307/2695743 .
  5. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo de una sola variable (Ninth edición). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2. 
  6. Miller, Jeff (1 de diciembre de 2004), Earlyest Uses of Symbols of Calculus, archivado desde tripod.com/calculus.html el original el 1 de mayo de 2015, consultado el 18 de diciembre de 2008 .
  7. Hardy, G. H. (2008, 1a. ed. 1908). A Course of Pure Mathematics. Con prefacio de Thomas William Körner (10th edición). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-72055-7.
  8. Barbolla y otros: Introducción al análisis real
  9. a b Bourbaki, Nicolas (1998). General Topology: Chapters 1-4 (en inglés) (reimpresa edición). Springer. pp. 68-73. ISBN 3540642412. 
  10. Sharma, J. N. (2010). Krishna's Topology: (For Honours and Post Graduate Students of All Indian Universities) (en inglés) (37 edición). Krishna Prakashan Media. p. 449. 
  11. a b Banach Limit en PlanetMath.

Bibliografía

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  • Apostol, Tom M. (1960). Análisis matemático: Introducción moderna al cálculo superior. Reverté. ISBN 84-291-5000-5. 
  • Rey Pastor, Julio (1985). Análisis matemático: Teoría de ecuaciones; cálculo infinitesimal de una variable. Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9. 
  • Gardner Bartle, Robert (1982). Introducción al análisis matemático. Limusa. ISBN 968-18-0997-1. 

Enlaces externos

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