Propiedad del grafo cerrado

En matemáticas, particularmente en análisis funcional y en topología, la propiedad del grafo cerrado es una característica que poseen determinadas aplicaciones,^[1]^[2] de manera que se dice que una función $f : X \to Y$ entre espacios topológicos posee un grafo cerrado si su grafo es un conjunto cerrado perteneciente al espacio producto $X \times Y$ . Una propiedad relacionada es la de grafo abierto.^[3]

Esta propiedad se estudia porque existen muchos teoremas, conocidos como teoremas del grafo cerrado, que dan condiciones bajo las cuales una función con grafo cerrado es necesariamente continua. Una clase particularmente conocida son los teoremas de grafos cerrados en análisis funcional.

Definiciones

Grafos y funciones de valores establecidos

Definición y notación: El grafo de una función

f : X \to Y

es el conjunto

Gr f := {(x, f (x)) : x \in X}= {(x, y) \in X \times Y : y = f (x) }

.

Notación: Si

Y

es un conjunto, entonces el conjunto potencia de

Y

, que es el conjunto de todos los subconjuntos de

Y

, se denota por

2 Y

o

𝒫(Y)

.

Definición: Si

X

e

Y

son conjuntos, una función de conjunto valorado de

Y

en

X

(también llamada multifunción con valor

Y

en

X

) es una función

F : X \to 2 Y

con diminio

X

que se valora en

2 Y

. Es decir,

F

es una función en

X

tal que para cada

x \in X

,

F (x)

es un subconjunto de

Y

.

Algunos autores llaman a una función $F : X \to 2 Y$ una función con valores establecidos solo si satisface el requisito adicional de que $F (x)$ no esté vacía para cada $x \in X$ ; en este artículo no se requiere esta condición.

Definición y notación: Si

F : X \to 2 Y

es una función con valores establecidos en un conjunto

Y

, entonces el grafo de

F

es el conjunto

Gr F := {(x, y) \in X \times Y : y \in F (x) }

.

Definición: Una función

f : X \to Y

se puede identificar canónicamente con la función con valores establecidos

F : X \to 2 Y

definida por

F (x) := {f (x) }

para cada

x \in X

, donde

F

se denomina función canónica con valores establecidos inducida por (o asociado con)

f

.

Debe tenerse en cuenta que en este caso, $Gr f = Gr F$ .

Grafos abiertos y cerrados

Se da la definición más general de cuándo una función con valores $Y$ o una función con valores establecidos definida en un subconjunto $S$ de $X$ tiene un grafo cerrado, ya que esta generalización es necesaria en el estudio de operadores lineales cerrados que están definidos en un subespacio denso $S$ de un espacio vectorial topológico $X$ (y no necesariamente definido en todo $X$ ). Este caso particular es una de las principales razones por las que en análisis funcional se estudian funciones con grafos cerrados.

Supuestos: En todo momento,

X

y

Y

son espacios topológicos,

S \subseteq X

y

f

es una función con valores

Y

o una función con valores establecidos en

S

(es decir,

f : S \to Y

o

f : S \to 2 Y

).

X \times Y

siempre estará dotado de topología producto.

Definición:^[4] Se dice que

f

tiene un grafo cerrado (respectivamente, grafo abierto, grafo secuencialmente cerrado, grafo secuencialmente abierto) en $X \times Y$ si el grafo de

f

,

Gr f

, es un subconjunto closed (respectivamente abierto, secuencialmente cerrado, secuencialmente abierto) de

X \times Y

cuando

X \times Y

está dotado de topología producto. Si

S = X

o si

X

se desprende del contexto, entonces se puede omitir escribir "en

X \times Y

"

Observación: Si

g : S \to Y

es una función y

G

es la función canónica con valores establecidos inducida por

g

(es decir,

G : S \to 2 Y

está definido por

G (s) := {g (s) }

para cada

s \in S

), entonces, dado que

Gr g = Gr G

,

g

tiene un grafo cerrado (respectivamente, secuencialmente cerrado, abierto, secuencialmente abierto) en

X \times Y

si y solo si lo mismo ocurre con

G

.

Aplicaciones que se pueden cerrar y cierres

Definición: Se dice que la función (respectivamente, función con valores establecidos)

f

se puede cerrar en $X \times Y$ si existe un subconjunto

D \subseteq X

que contiene a

S

y una función (respectivamente, función con valores establecidos)

F : D \to Y

cuya grafo es igual al cierre del conjunto

Gr f

en

X \times Y

. Un

F

de este tipo se denomina cierre de $f$ en $X \times Y$ , se denota por

f

y necesariamente se extiende a

f

.

Supuestos adicionales para aplicacións lineales: Si además, $S$ , $X$ y $Y$ son espacios vectoriales topológicos y $f : S \to Y$ es una aplicación lineal, entonces para llamar a $f$ cerrable también se requiere que el conjunto $D$ sea un subespacio vectorial de $X$ y el cierre de $f$ sea un aplicación lineal.

Definición: Si

f

se puede cerrar en

S

, entonces un núcleo o dominio esencial de

f

es un subconjunto

D \subseteq S

tal que el cierre en

X \times Y

del grafo de la restricción

f | D : D \to Y

de

f

a

D

es igual al cierre del grafo de

f

en

X \times Y

(es decir, el cierre de

Gr f

en

X \times Y

es igual al cierre de

Gr f | D

en

X \times Y

).

Aplicaciones cerradas y operadores lineales cerrados

Definición y notación: Cuando se escribe

f : D (f) \subseteq X \to Y

se quiere decir que

f

es una función valorada por

Y

con dominio

D (f)

, donde

D (f) \subseteq X

. Si se dice que

f : D (f) \subseteq X \to Y

está cerrado (respectivamente, cerrado secuencialmente) o tiene un grafo cerrado (respectivamente, tiene un grafo cerrado secuencialmente) entonces se quiere decir que el grafo de

f

está cerrado (o cerrado secuencialmente) en

X \times Y

(en lugar de en

D (f) \times Y

).

En distintas fuentes bibliográficas de análisis funcional se puede leer que, si $f : X \to Y$ es una aplicación lineal entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) (por ejemplo, espacios de Banach), entonces " $f$ está cerrada", lo que casi siempre significará lo siguiente:

Definición: Un aplicación

f : X \to Y

se llama cerrada si su grafo está cerrado en

X \times Y

. En particular, es casi seguro que el término "operador lineal cerrado" se referirá a una aplicación lineal cuyo grafo sea cerrado.

De lo contrario, especialmente en la literatura sobre topología general, " $f$ es cerrada" puede significar lo siguiente:

Definición: Un aplicación

f : X \to Y

entre espacios topológicos se denomina cerrada si la imagen de un subconjunto cerrado de

X

es un subconjunto cerrado de

Y

.

Estas dos definiciones de "aplicación cerrada" no son equivalentes. Si no está claro, se recomienda que el lector compruebe cómo se define "aplicación cerrada" en la literatura que está leyendo.

Caracterizaciones

En todo momento, sean $X$ e $Y$ dos espacios topológicos.

Función con grafo cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

$f$ tiene un grafo cerrado (en $X \times Y$ );
(Definición) el grafo de $f$ , $Gr f$ , es un subconjunto cerrado de $X \times Y$ ;
Para cada x ∈ X y red x_•= (x_i)_{i ∈ I} en X tal que x_• → x en X, si y ∈ Y es tal que la red f(x_•) := (f(x_i))_{i ∈ I} → y en Y, entonces y= f(x);^[4]
- Compárese esto con la definición de continuidad en términos de redes, que se recuerda que es la siguiente: para cada $x \in X$ y $x • = (x i) i \in I$ neto en $X$ tal que $x • \to x$ en $X$ , $f (x •) \to f (x)$ en $Y$ .
- Por lo tanto, para mostrar que la función $f$ tiene un grafo cerrado, se puede suponer que $f (x •)$ converge en $Y$ a algún $y \in Y$ (y luego mostrar que $y = f (x)$ ), mientras que para mostrar que $f$ es continua, se puede no asumir que $f (x •)$ converge en $Y$ a algún $y \in Y$ y, en cambio, se debe demostrar que esto es cierto (y además, se debe demostrar más específicamente que $f (x •)$ converge a $f (x)$ en $Y$ ).

Y si $Y$ es un espacio compacto de Hausdorff, entonces se puede agregar a esta lista:

$f$ es continua;^[5]

y si tanto $X$ como $Y$ son espacios que satisfacen el primer axioma de numerabilidad, entonces se puede agregar a esta lista que:

$f$ tiene un grafo secuencialmente cerrado (en $X \times Y$ );

Función con grafo secuencialmente cerrado

Si $f : X \to Y$ es una función, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

$f$ tiene un grafo secuencialmente cerrado (en $X \times Y$ );
(Definición) el grafo de $f$ es un subconjunto secuencialmente cerrado de $X \times Y$ ;
Para cada $x \in X$ y para cada sucesión $x • = (x i) \infty i =1$ en $X$ tal que $x • \to x$ en $X$ , si $y \in Y$ es tal que la red $f (x •) := (f (x i)) \infty i =1 \to y$ en $Y$ , entonces $y = f (x)$ ;^[4]

Función de valor establecido con un grafo cerrado

Si $F : X \to 2 Y$ es una función con valores establecidos entre los espacios topológicos $X$ e $Y$ , entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

$F$ tiene un grafo cerrado (en $X \times Y$ );
(Definición) el grafo de $F$ es un subconjunto cerrado de $X \times Y$ ;

y si $Y$ es compacto y de Hausdorff, entonces se pueden agregar a esta lista los enunciados siguientes:

$F$ es hemicontinua superior y $F (x)$ es un subconjunto cerrado de $Y$ para todos los $x \in X$ ;^[6]

Y si tanto $X$ como $Y$ son espacios metrizables, entonces se pueden agregar a esta lista los enunciados siguientes:

para todos los $x \in X$ , $y \in Y$ y las secuencias $x • = (x i) \infty i =1$ en $X$ y $y • = (y i) \infty i =1$ en $Y$ , de modo que $x • \to x$ en $X$ e $y • \to y$ en $Y$ , e $y i \in F (x i)$ para todos los $i$ , luego $y \in F (x)$ .

Condiciones suficientes para un grafo cerrado

Si f : X → Y es una función continua entre espacios topológicos y si Y es de Hausdorff, entonces f tiene un grafo cerrado en X × Y.^[4]
- Téngase en cuenta que si $f : X \to Y$ es una función entre espacios topológicos de Hausdorff, entonces es posible que $f$ tenga un grafo cerrado en $X \times Y$ , pero "no" ser continuo.

Teoremas de grafo cerrado: cuando un grafo cerrado implica continuidad

Artículo principal: Teorema del grafo cerrado

Las condiciones que garantizan que una función con grafo cerrado sea necesariamente continua se denominan teorema del grafo cerrado. Los teoremas de grafos cerrados son de particular interés en análisis funcional, donde hay muchos teoremas que dan condiciones bajo las cuales una aplicación lineal con un grafo cerrado es necesariamente continua.

Si $f : X \to Y$ es una función entre espacios topológicos cuyo grafo es cerrado en $X \times Y$ y si $Y$ es un espacio compacto, entonces $f : X \to Y$ es continua. ^[4]

Ejemplos

Aplicaciones continuas pero no cerradas

Sea $X$ el conjunto de los números reales $ℝ$ con la topología euclídea habitual, e $Y$ denota $ℝ$ con la topología trivial (donde debe tenerse en cuenta que $Y$ no es de Hausdorff y que cada función valorada en $Y$ es continua). Ahora, considérese que $f : X \to Y$ se defina por $f (0)= 1$ , y que $f (x)= 0$ para todo $x \neq 0$ . Entonces, $f : X \to Y$ es continua pero su grafo "no" está cerrado en $X \times Y$ .^[4]
Si $X$ es cualquier espacio, entonces la aplicación identidad $Id : X \to X$ es continua, pero su grafo, que es la diagonal $Gr Id := {(x, x) : x \in X}$ , está cerrado en $X \times X$ si y solo si $X$ es de Hausdorff.^[7] En particular, si $X$ no es de Hausdorff, entonces $Id : X \to X$ es continua pero "no" cerrada.
Si $f : X \to Y$ es una aplicación continua cuyo grafo no está cerrado, entonces $Y$ "no" es un espacio de Hausdorff.

Aplicaciones cerradas pero no continuas

Sean $X$ y $Y$ los números reales $ℝ$ con la topología euclídea habitual. Considérese ahora que $f : X \to Y$ se define por $f (0)= 0$ , y que $f (x)= 1 / x$ para todo $x \neq 0$ . Entonces, $f : X \to Y$ tiene un grafo cerrado (y un grafo secuencialmente cerrado) en $X \times Y = ℝ 2$ , pero "no" es continua (ya que tiene una discontinuidad en $x = 0$ ).^[4]
Sea $X$ el conjunto de los números reales $ℝ$ con la topología euclídea habitual, sea $Y$ el $ℝ$ con la topología discreta y sea $Id : X \to Y$ la función identidad (es decir, $Id(x) := x$ para cada $x \in X$ ). Entonces, $Id : X \to Y$ es una aplicación lineal cuyo grafo está cerrado en $X \times Y$ pero claramente "no" es continua (ya que los conjuntos unitarios están abiertos en $Y$ pero no en $X$ ).^[4]
Sea $(X, 𝜏)$ un EVT de Hausdorff y sea $𝜐$ una topología vectorial en $X$ que es estrictamente más fina que $𝜏$ . Entonces, la aplicación identidad $Id : (X, 𝜏) \to (X, 𝜐)$ es un operador lineal discontinuo cerrado.^[8]

Operadores lineales cerrados

Véase también: Operador no acotado

Todo operador lineal continuo valorado en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff tiene un grafo cerrado, y por otro lado, debe recordarse que un operador lineal entre dos espacios vectoriales normados es continuo si y solo si está acotado.

Definición: Si

X

e

Y

son espacios vectoriales topológicos (EVTs), entonces se denomina a la aplicación lineal

f : D (f) \subseteq X \to Y

un operador lineal cerrado si su grafo está cerrado en

X \times Y

.

Teorema del grafo cerrado

El teorema del grafo cerrada establece que cualquier operador lineal cerrado $f : X \to Y$ entre dos espacios F (como por ejemplo, dos espacios de Banach) es continuo, dado que si $X$ e $Y$ son espacios de Banach, entonces que $f : X \to Y$ sea continua equivale a que $f$ esté acotada.

Propiedades básicas

Las siguientes propiedades se verifican fácilmente para un operador lineal $f : D (f) \subseteq X \to Y$ entre espacios de Banach:

Si $A$ está cerrado, entonces $A - λ Id D (f)$ está cerrada, siendo $λ$ un escalar e $Id D (f)$ es la función identidad;
Si $f$ está cerrada, entonces su núcleo (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de $X$ ;
Si $f$ está cerrada y es injectiva, entonces su inversa $f -1$ también está cerrada;
Un operador lineal $f$ admite una clausura si y solo si para cada $x \in X$ y cada par de sucesiones $x • = (x i) \infty i =1$ y $y • = (y i) \infty i =1$ en $D (f)$ , ambas convergen a $x$ en $X$ , de modo que tanto $f (x •)= (f (x i)) \infty i =1$ como $f (y •)= (f (y i)) \infty i =1$ convergen en $Y$ , se tiene que $lim i \to \infty fx i = lim i \to \infty fy i$ .

Ejemplo

Considérese el operador derivada $A = d / dx$ donde $X = Y = C ([a, b])$ es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo $[a, b]$ . Si se toma su dominio $D (f)$ como $C 1 ([a, b])$ , entonces $f$ es un operador cerrado, que no está acotado.^[9] Por otro lado, si es $D (f)= C \infty ([a, b])$ , entonces $f$ ya no estará cerrada, pero se podrá cerrar, siendo el cierre su extensión definida en $C 1 ([a, b])$ .

Véase también

Referencias

↑ Baggs, Ivan (1974). «Functions with a closed graph». Proceedings of the American Mathematical Society (en inglés) 43 (2): 439-442. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8.
↑ Ursescu, Corneliu (1975). «Multifunctions with convex closed graph». Czechoslovak Mathematical Journal 25 (3): 438-441. ISSN 0011-4642. doi:10.21136/CMJ.1975.101337.
↑ Shafer, Wayne; Sonnenschein, Hugo (1 de diciembre de 1975). «Equilibrium in abstract economies without ordered preferences». Journal of Mathematical Economics 2 (3): 345-348. ISSN 0304-4068. doi:10.1016/0304-4068(75)90002-6. hdl:10419/220454.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Narici y Beckenstein, 2011, pp. 459-483.
↑ Munkres, 2000, p. 171.
↑ Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). «Chapter 17». Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3rd edición). Springer.
↑ Rudin p.50
↑ Narici y Beckenstein, 2011, p. 480.
↑ Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis With Applications. USA: John Wiley & Sons. Inc. pp. 294. ISBN 0-471-50731-8.

Bibliografía

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Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs 53. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second edición). Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Datos: Q68434423

[1] Baggs, Ivan (1974). «Functions with a closed graph». Proceedings of the American Mathematical Society (en inglés) 43 (2): 439-442. ISSN 0002-9939. doi:10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8.

[2] Ursescu, Corneliu (1975). «Multifunctions with convex closed graph». Czechoslovak Mathematical Journal 25 (3): 438-441. ISSN 0011-4642. doi:10.21136/CMJ.1975.101337.

[:2-3] Shafer, Wayne; Sonnenschein, Hugo (1 de diciembre de 1975). «Equilibrium in abstract economies without ordered preferences». Journal of Mathematical Economics 2 (3): 345-348. ISSN 0304-4068. doi:10.1016/0304-4068(75)90002-6. hdl:10419/220454.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011459-483-4] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Narici y Beckenstein, 2011, pp. 459-483.

[FOOTNOTEMunkres2000171-5] Munkres, 2000, p. 171.

[aliprantis-6] Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). «Chapter 17». Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3rd edición). Springer.

[7] Rudin p.50

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011480-8] Narici y Beckenstein, 2011, p. 480.

[9] Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis With Applications. USA: John Wiley & Sons. Inc. pp. 294. ISBN 0-471-50731-8.

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