Principio de acotación uniforme

En matemáticas, el principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) es uno de los resultados fundamentales en análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn–Banach y el teorema de la aplicación abierta, se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto, de operadores lineales acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme según una norma operativa.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero Hans Hahn también lo demostró de forma independiente.

Teorema

Principio de acotación uniforme Sea $X$ un espacio de Banach, $Y$ un espacio vectorial normado y $B(X,Y)$ el espacio de todos los operadores lineales continuos desde $X$ hasta $Y$. Supóngase que $F$ es una colección de operadores lineales continuos de $X$ a $Y$. Si $\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty \quad {\text{ para todo }}x\in X$, entonces $\sup _{\stackrel {T\in F,}{\|x\|\leq 1}}T(x)_{Y}=_{T}FT_{B}(X,Y)<\infty$. En el caso de que $X$ no sea el espacio vectorial trivial, entonces la semidesigualdad utilizada en el supremo del primer término de esta última cadena de igualdades (que tiene un rango de $x$ sobre la bola cerrada unidad) puede reemplazarse por una igualdad propia (que tiene un rango $x$ sobre la esfera unitaria cerrada).

La integridad de $X$ permite plantear la siguiente breve prueba, utilizando el teorema de categorías de Baire.

Demostración

Sea X un espacio de Banach. Supóngase que por cada $x\in X$ $\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty$ Para cada número entero $n\in \mathbb {N} ,$ sea $X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}$ Cada conjunto $X_{n}$ es un conjunto cerrado y, según el supuesto, $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .$ Por el teorema de categorías de Baire para un espacio métrico completo no vacío $X$, existe algún $m\in \mathbb {N}$ tal que $X_{m}$ tiene interior no vacío; es decir, existen $x_{0}\in X_{m}$ y $\varepsilon >0$ tales que ${\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}~:=~\left\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \right\}~\subseteq ~X_{m}$ Sea $u\in X$ con $\|u\|\leq 1$ y $T\in F$ Entonces: ${\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T\left(x_{0}\right)\right\|_{Y}&[{\text{ por la linealidad de }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ dado que }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}$ Tomando el supremo sobre $u$ en la bola unitaria de $X$ y sobre $T\in F$ se deduce que $\sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}~\leq ~2\varepsilon ^{-1}m~<~\infty$.

También hay demostraciones sencillas que no utilizan el teorema de Baire (Sokal, 2011).

Corolarios

Corolario Si una secuencia de operadores acotados $\left(T_{n}\right)$ converge puntualmente, es decir, el límite de $\left(T_{n}(x)\right)$ existe para todos los $x\in X$, entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado $T$.

El corolario anterior no afirma que $T_{n}$ converge a $T$ en la norma del operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que $\left\{T_{n}\right\}$ está acotado en la norma del operador y el operador límite $T$ es continuo, una estimación estándar "$3\varepsilon$" muestra que $T_{n}$ converge a $T$ de manera uniforme en conjuntos compactos.

Demostración

Esencialmente, se considera lo mismo que en la demostración de que una secuencia convergente puntual de funciones uniformemente continuas en un conjunto compacto converge en una función continua. Por el principio de acotación uniforme, sea $M=\max\{\sup _{n}\|T_{n}\|,T\}$ un límite superior uniforme de las normas del operador. Se fija un $K\subset X$ compacto cualquiera. A continuación, para cualquier $\epsilon >0$, se recubre finitamente (recurriendo a su compacidad) $K$ con un conjunto finito de bolas abiertas $\{B(x_{i},r)\}_{i=1,...,N}$ de radio $r={\frac {\epsilon }{M}}$ Dado que $T_{n}\to T$ es puntual para cada $x_{1},...,x_{N}$, para todos los $n$ grandes, $\|T_{n}(x_{i})-T(x_{i})\|\leq \epsilon$ es para todos los $i=1,...,N$. En consecuencia, por la desigualdad triangular, se tiene que para todo $n$ grande, $\forall x\in K,\|T_{n}(x)-T(x)\|\leq 3\epsilon$.

Corolario Cualquier subconjunto $S\subseteq Y$ débilmente acotado en un espacio normado $Y$ está acotado.

De hecho, los elementos de $S$ definen una familia acotada puntualmente de formas lineales continuas en el espacio de Banach $X:=Y'$, que es el espacio dual de $Y$. Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos de $S,$ como funcionales en $X$, es decir, las normas en el segundo dual $Y''$ están acotadas. Pero para cada $s\in S,$ la norma en el segundo dual coincide con la norma en $Y$, como una consecuencia del teorema de Hahn–Banach.

Sean $L(X,Y)$ los operadores continuos de $X$ a $Y$, dotados de norma de operador. Si la colección $F$ no está acotada en $L(X,Y)$, entonces el principio de acotación uniforme implica que:

$R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing .$

De hecho, $R$ es denso en $X$. El complemento de $R$ en $X$ es la unión contable de conjuntos cerrados ${\textstyle \bigcup X_{n}}$. Según el argumento utilizado para demostrar el teorema, cada $X_{n}$ es denso en ninguna parte, es decir, el subconjunto ${\textstyle \bigcup X_{n}}$ es de primera categoría. Por lo tanto, $R$ es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, estos conjuntos (llamados exiguos o residuales) son densos. Tal razonamiento conduce al principio de condensación de singularidades, que puede formularse de la siguiente manera:

Sea $X$ un espacio de Banach, $\left(Y_{n}\right)$ una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada $n,$ sea $F_{n}$ una familia ilimitada en $L\left(X,Y_{n}\right).$ Entonces, el conjunto $R:=\left\{x\in X\ :\ {\text{ para todo }}n\in \mathbb {N} ,\sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}$ es un conjunto residual y, por lo tanto, denso en $X.$

Demostración

El complemento de $R$ es la unión numerable $\bigcup _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}$ de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residual $R$ es denso.

Ejemplo: convergencia puntual de la serie de Fourier

Sea $\mathbb {T}$ el círculo y sea $C(\mathbb {T} )$ el espacio de Banach de funciones continuas en $\mathbb {T} ,$ con norma del supremo. Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en $C(\mathbb {T} )$ para el cual la serie de Fourier no converge puntualmente.

Para $f\in C(\mathbb {T} ),$ su serie de Fourier está definida por

$\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},$

y la N-ésima suma parcial simétrica es

$S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,$

donde $D_{N}$ es el $N$-ésimo núcleo de Dirichlet. Ajústese $x\in \mathbb {T}$ y considérese la convergencia de $\left\{S_{N}(f)(x)\right\}.$ El funcional $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}$ definido por

$\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),$

está ligado.

La norma de $\varphi _{N,x},$ en el dual de $C(\mathbb {T} ),$ es la norma de la medida signada $(2(2\pi )^{-1}D_{N}(x-t)dt,$ a saber

$\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.$

Se puede comprobar que

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .$

Entonces, la colección $\left(\varphi _{N,x}\right)$ es ilimitada en $C(\mathbb {T} )^{\ast },$ el dual de $C(\mathbb {T} ).$ Por lo tanto, según el principio de acotación uniforme, para cualquier $x\in \mathbb {T} ,$ el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en $x$ es denso en $C(\mathbb {T} ).$

Se puede concluir más aplicando el principio de condensación de singularidades. Sea $\left(x_{m}\right)$ una secuencia densa en $\mathbb {T} .$ Defínase $\varphi _{N,x_{m}}$ de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cada $x_{m}$ es denso en $C(\mathbb {T} )$ (sin embargo, la serie de Fourier de una función continua $f$ converge a $f(x)$ para casi cada $x\in \mathbb {T} ,$ por el teorema de Carleson).

Generalizaciones

En un espacio vectorial topológico (EVT) $X$, el término "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann. Si $X$ también es normado o seminormado, supóngase que con (semi)norma $\|\cdot \|$, entonces un subconjunto $B$ está acotado (según von Neumann) si y solo si es una norma acotada, que por definición significa que ${\textstyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$

Espacios barrilados

Los intentos de encontrar clases de espacios localmente convexos en las que se cumpla el principio de acotación uniforme finalmente condujeron a los espacios barrilados. Es decir, el escenario menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barrilado, en el que se cumple la siguiente versión generalizada del teorema (Bourbaki, 1987, Theorem III.2.1):

Dado un espacio barrilado $X$ y un espacio localmente convexo $Y$, cualquier familia de operadores lineales continuos acotados puntualmente desde $X$ a $Y$ es equicontinua (e incluso uniformemente equicontinua). Alternativamente, la afirmación también es válida siempre que $X$ sea un espacio de Baire e $Y$ sea un espacio localmente convexo.​

Acotación uniforme en espacios vectoriales topológicos

Se dice que una familia ${\mathcal {B}}$ de subconjuntos de un espacio vectorial topológico $Y$ es uniformemente acotada en $Y$, si existe algún subconjunto acotado $D$ de $Y$ tal que

$B\subseteq D\quad {\text{ para cada }}B\in {\mathcal {B}},$

lo que sucede si y solo si

$\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B$

es un subconjunto acotado de $Y$. Si $Y$ es un espacio vectorial normado, entonces esto sucede si y solo si existe algún $M\geq 0$ real tal que ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|\leq M.}$ En particular, si $H$ es una familia de aplicaciones de $X$ a $Y$ y si $C\subseteq X$, entonces la familia $\{h(C):h\in H\}$ está uniformemente acotada en $Y$ si y solo si existe algún subconjunto acotado $D$ de $Y$ tal que $h(C)\subseteq D{\text{ para todo }}h\in H,$ lo que ocurre si y solo si ${\textstyle H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ es un subconjunto acotado de $Y.$

Proposición​ Sea $H\subseteq L(X,Y)$ un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos, $X$ e $Y$, y sea $C\subseteq X$ cualquier subconjunto acotado de $X.$ Entonces, la familia de conjuntos $\{h(C):h\in H\}$ está uniformemente acotada en $Y$ si se cumple alguna de las siguientes condiciones: $H$ es equicontinuo. $C$ es un espacio compacto y convexo de Hausdorff subespacio de $X$, y para cada $c\in C$, la órbita $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ es un subconjunto acotado de $Y$.

Generalizaciones que involucran subconjuntos no exiguos

Aunque la noción de un conjunto no exiguo se utiliza en la siguiente versión del principio acotado uniforme, se supone que el dominio $X$ no es un espacio de Baire.

Teorema​ Sea $H\subseteq L(X,Y)$ un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos, $X$ e $Y$ (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos). Para cada $x\in X,$ se denota la órbita de $x$ por $H(x):=\{h(x):h\in H\}$ y sea $B$ el conjunto de todos los $x\in X$, cuya órbita $H(x)$ es un subconjunto acotado de $Y.$ Si $B$ es de segunda categoría (es decir, no exiguo) en $X$, entonces $B=X$ y $H$ son equicontinuos.

Cada subespacio vectorial propio de un EVT $X$ tiene un interior vacío en $X$.​ Entonces, en particular, cada subespacio vectorial propio que está cerrado no es denso en ninguna parte en $X$, y por lo tanto, de la primera categoría (exiguo) en $X$ (y lo mismo también es cierto para todos sus subconjuntos). En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un EVT $X$ que sea de segunda categoría (no exiguo) en $X$ debe ser un subconjunto denso de $X$ (ya que de lo contrario, su cierre en $X$ sería un subespacio vectorial propio cerrado de $X$, y por lo tanto, de primera categoría).​

Demostración​

Demostración de que $H$ es equicontinuo: Sean $W,V\subseteq Y$ entornos equilibrados del origen en $Y$ que satisfacen ${\overline {V}}+{\overline {V}}\subseteq W$. Se debe demostrar que existe un entorno $N\subseteq X$ del origen en $X$ tal que $h(N)\subseteq W$ para cada $h\in H.$ Sea $C~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}\left({\overline {V}}\right)$, que es un subconjunto cerrado de $X$ (porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cada $h\in H,$ también satisface $h(C)\subseteq {\overline {V}}$ y $h(C-C)~=~h(C)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~=~{\overline {V}}+{\overline {V}}~\subseteq ~W$ (como se mostrará, el conjunto $C-C$ es de hecho un entorno del origen en $X$ porque el interior topológico de $C$ en $X$ no está vacío). Si $b\in B$, entonces $H(b)$ está limitado en $Y$, lo que implica que existe algún número entero $n\in \mathbb {N}$ tal que $H(b)\subseteq nV$, por lo que si $h\in H,$ entonces $b~\in ~h^{-1}\left(nV\right)~=~nh^{-1}(V).$ Dado que $h\in H$ era arbitrario, $b~\in ~\bigcap _{h\in H}nh^{-1}(V)~=~n\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)~\subseteq ~nC.$ Esto prueba que $B~\subseteq ~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nC.$ Debido a que $B$ es de segunda categoría en $X$, lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos $nC$ para algún $n\in \mathbb {N} .$ La aplicación $X\to X$ definida por ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{n}}x}$ es un homeomorfismo (sobreyectivo), por lo que el conjunto ${\textstyle {\frac {1}{n}}(nC)=C}$ es necesariamente de segunda categoría en $X$. Debido a que $C$ está cerrado y es de segunda categoría en $X$, su interior en $X$ no está vacío. Elíjase $c\in \operatorname {Int} _{X}C$. Debido a que la aplicación $X\to X$ definida por $x\mapsto c-x$ es un homeomorfismo, el conjunto $N~:=~c-\operatorname {Int} _{X}C~=~\operatorname {Int} _{X}(c-C)$ es un entorno de $0=c-c$ en $X$, lo que implica que lo mismo ocurre con su superconjunto $C-C.$ Y así, por cada $h\in H,$ $h(N)~\subseteq ~h(c-C)~=~h(c)-h(C)~\subseteq ~{\overline {V}}-{\overline {V}}~\subseteq ~W.$ Esto demuestra que $H$ es equicontinuo. Q.E.D. Demostración de que $B=X$: Debido a que $H$ es equicontinuo, si $S\subseteq X$ está acotado en $X$, entonces $H(S)$ está acotado uniformemente en $Y$. En particular, para cualquier $x\in X$, dado que $S:=\{x\}$ es un subconjunto acotado de $X$, $H(\{x\})=H(x)$ es un subconjunto uniformemente acotado de $Y$. Por lo tanto, $B=X$. Q.E.D.

Secuencias de aplicaciones lineales continuas

El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de aplicaciones lineales continuas sea en sí mismo continuo.

Teorema​ Supóngase que $h_{1},h_{2},\ldots$ es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicos, $X$ e $Y$. Si el conjunto $C$ de todos los $x\in X$ para los cuales $h_{1}(x),h_{2}(x),\ldots$ es una secuencia de Cauchy en $Y$ de segunda categoría en $X$, entonces $C=X.$ Si el conjunto $L$ de todos los $x\in X$ en el que existe el límite $h(x):=\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)$ en $Y$ es de segunda categoría en $X$ y si $Y$ es un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un espacio F), entonces $L=X$ y $h:X\to Y$ son una aplicación lineal continua.

Teorema​ Si $h_{1},h_{2},\ldots$ es una secuencia de aplicaciones lineales continuas desde un espacio F $X$ a un espacio vectorial topológico de Hausdorff $Y$ tal que para cada $x\in X,$ el límite $h(x)~:=~\lim _{n\to \infty }h_{n}(x)$ existe en $Y$, entonces $h:X\to Y$ es una aplicación lineal continua y las aplicaciones $h,h_{1},h_{2},\ldots$ son equicontinuas.

Si además el dominio es un espacio de Banach y el codominio es un espacio vectorial normado, entonces $\|h\|\leq \liminf _{n\to \infty }\left\|h_{n}\right\|<\infty .$

Dominio metrizable completo

Dieudonné (1970) demostró una forma más débil de este teorema con un espacio de Fréchet en lugar de los habituales espacios de Banach.

Teorema​ Sea $H\subseteq L(X,Y)$ un conjunto de operadores lineales continuos desde un espacio vectorial topológico metrizable completo $X$ (como un espacio de Fréchet o un espacio F) a un espacio vectorial topológico de Hausdorff $Y$. Si por cada $x\in X$, la órbita $H(x):=\{h(x):h\in H\}$ es un subconjunto acotado de $Y$, entonces $H$ es equicontinuo. De esta manera, en particular, si $Y$ es también un espacio vectorial normado y si $\sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty \quad {\text{ para cada }}x\in X,$ entonces $H$ es equicontinuo.

Véase también

• Espacio barrilado
• Teorema de Ursescu

Bibliografía

• Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927). «Sur le principe de la condensation de singularités». Fundamenta Mathematicae 9. pp. 50-61. doi:10.4064/fm-9-1-50-61. .
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations]. Monografie Matematyczne (en francés) 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archivado desde el original el 11 de enero de 2014. Consultado el 11 de julio de 2020. 
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5 (Eggleston, H.G.; Madan, S., trad.). Elementos de matemática. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190. 
• Dieudonné, Jean (1970). Treatise on analysis, Volume 2. Academic Press. .
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665. 
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Rudin, Walter (1973). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 25 (First edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 9780070542259. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365. 
• Shtern, A.I. (2001), «Principio de acotación uniforme», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Sokal, Alan (2011). «A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem». Amer. Math. Monthly 118 (5). pp. 450-452. S2CID 41853641. arXiv:1005.1585. doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450. .
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. 

• Datos: Q1426292