Principio de acotación uniforme

enunciado que afirma que un conjunto de operadores lineales acotados puntualmente en un espacio de Banach está acotado uniformemente en la norma del operador

En matemáticas, el principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) es uno de los resultados fundamentales en análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn–Banach y el teorema de la aplicación abierta, se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto, de operadores lineales acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach, la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme según una norma operativa.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero Hans Hahn también lo demostró de forma independiente.

Teorema

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Principio de acotación uniforme

Sea   un espacio de Banach,   un espacio vectorial normado y   el espacio de todos los operadores lineales continuos desde   hasta  . Supóngase que   es una colección de operadores lineales continuos de   a  . Si

 ,

entonces

 .

En el caso de que   no sea el espacio vectorial trivial, entonces la semidesigualdad utilizada en el supremo del primer término de esta última cadena de igualdades (que tiene un rango de   sobre la bola cerrada unidad) puede reemplazarse por una igualdad propia (que tiene un rango   sobre la esfera unitaria cerrada).

La integridad de   permite plantear la siguiente breve prueba, utilizando el teorema de categorías de Baire.

Demostración
Sea X un espacio de Banach.

Supóngase que por cada  

 

Para cada número entero   sea

 

Cada conjunto   es un conjunto cerrado y, según el supuesto,

 

Por el teorema de categorías de Baire para un espacio métrico completo no vacío  , existe algún   tal que   tiene interior no vacío; es decir, existen   y   tales que

 

Sea   con   y   Entonces:

 

Tomando el supremo sobre   en la bola unitaria de   y sobre   se deduce que

 .

También hay demostraciones sencillas que no utilizan el teorema de Baire (Sokal, 2011).

Corolarios

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Corolario

Si una secuencia de operadores acotados   converge puntualmente, es decir, el límite de   existe para todos los  , entonces estos límites puntuales definen un operador lineal acotado  .

El corolario anterior no afirma que   converge a   en la norma del operador, es decir, uniformemente en conjuntos acotados. Sin embargo, dado que   está acotado en la norma del operador y el operador límite   es continuo, una estimación estándar " " muestra que   converge a   de manera uniforme en conjuntos compactos.

Demostración
Esencialmente, se considera lo mismo que en la demostración de que una secuencia convergente puntual de funciones uniformemente continuas en un conjunto compacto converge en una función continua.

Por el principio de acotación uniforme, sea   un límite superior uniforme de las normas del operador.

Se fija un   compacto cualquiera. A continuación, para cualquier  , se recubre finitamente (recurriendo a su compacidad)   con un conjunto finito de bolas abiertas   de radio  

Dado que   es puntual para cada  , para todos los   grandes,   es para todos los  .

En consecuencia, por la desigualdad triangular, se tiene que para todo   grande,  .

Corolario

Cualquier subconjunto   débilmente acotado en un espacio normado   está acotado.

De hecho, los elementos de   definen una familia acotada puntualmente de formas lineales continuas en el espacio de Banach  , que es el espacio dual de  . Por el principio de acotación uniforme, las normas de los elementos de   como funcionales en  , es decir, las normas en el segundo dual   están acotadas. Pero para cada   la norma en el segundo dual coincide con la norma en  , como una consecuencia del teorema de Hahn–Banach.

Sean   los operadores continuos de   a  , dotados de norma de operador. Si la colección   no está acotada en  , entonces el principio de acotación uniforme implica que:

 

De hecho,   es denso en  . El complemento de   en   es la unión contable de conjuntos cerrados  . Según el argumento utilizado para demostrar el teorema, cada   es denso en ninguna parte, es decir, el subconjunto   es de primera categoría. Por lo tanto,   es el complemento de un subconjunto de primera categoría en un espacio de Baire. Por definición de un espacio de Baire, estos conjuntos (llamados exiguos o residuales) son densos. Tal razonamiento conduce al principio de condensación de singularidades, que puede formularse de la siguiente manera:

Sea   un espacio de Banach,   una secuencia de espacios vectoriales normados, y para cada   sea   una familia ilimitada en   Entonces, el conjunto

 

es un conjunto residual y, por lo tanto, denso en  

Demostración
El complemento de   es la unión numerable
 

de conjuntos de primera categoría. Por lo tanto, su conjunto residual   es denso.

Ejemplo: convergencia puntual de la serie de Fourier

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Sea   el círculo y sea   el espacio de Banach de funciones continuas en   con norma del supremo. Utilizando el principio de acotación uniforme, se puede demostrar que existe un elemento en   para el cual la serie de Fourier no converge puntualmente.

Para   su serie de Fourier está definida por

 

y la N-ésima suma parcial simétrica es

 

donde   es el  -ésimo núcleo de Dirichlet. Ajústese   y considérese la convergencia de   El funcional   definido por

 

está ligado.

La norma de   en el dual de   es la norma de la medida signada   a saber

 

Se puede comprobar que

 

Entonces, la colección   es ilimitada en   el dual de   Por lo tanto, según el principio de acotación uniforme, para cualquier   el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en   es denso en  

Se puede concluir más aplicando el principio de condensación de singularidades. Sea   una secuencia densa en   Defínase   de forma similar a la anterior. El principio de condensación de singularidades dice entonces que el conjunto de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en cada   es denso en   (sin embargo, la serie de Fourier de una función continua   converge a   para casi cada   por el teorema de Carleson).

Generalizaciones

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En un espacio vectorial topológico (EVT)  , el término "subconjunto acotado" se refiere específicamente a la noción de subconjunto acotado de von Neumann. Si   también es normado o seminormado, supóngase que con (semi)norma  , entonces un subconjunto   está acotado (según von Neumann) si y solo si es una norma acotada, que por definición significa que  

Espacios barrilados

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Los intentos de encontrar clases de espacios localmente convexos en las que se cumpla el principio de acotación uniforme finalmente condujeron a los espacios barrilados. Es decir, el escenario menos restrictivo para el principio de acotación uniforme es un espacio barrilado, en el que se cumple la siguiente versión generalizada del teorema (Bourbaki, 1987, Theorem III.2.1):

Dado un espacio barrilado   y un espacio localmente convexo  , cualquier familia de operadores lineales continuos acotados puntualmente desde   a   es equicontinua (e incluso uniformemente equicontinua).

Alternativamente, la afirmación también es válida siempre que   sea un espacio de Baire e   sea un espacio localmente convexo.[1]

Acotación uniforme en espacios vectoriales topológicos

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Se dice que una familia   de subconjuntos de un espacio vectorial topológico   es uniformemente acotada en  , si existe algún subconjunto acotado   de   tal que

 

lo que sucede si y solo si

 

es un subconjunto acotado de  . Si   es un espacio vectorial normado, entonces esto sucede si y solo si existe algún   real tal que   En particular, si   es una familia de aplicaciones de   a   y si  , entonces la familia   está uniformemente acotada en   si y solo si existe algún subconjunto acotado   de   tal que   lo que ocurre si y solo si   es un subconjunto acotado de  

Proposición[2]

Sea   un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos,   e  , y sea   cualquier subconjunto acotado de   Entonces, la familia de conjuntos   está uniformemente acotada en   si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

  1.   es equicontinuo.
  2.   es un espacio compacto y convexo de Hausdorff subespacio de  , y para cada  , la órbita   es un subconjunto acotado de  .

Generalizaciones que involucran subconjuntos no exiguos

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Aunque la noción de un conjunto no exiguo se utiliza en la siguiente versión del principio acotado uniforme, se supone que el dominio   no es un espacio de Baire.

Teorema[2]

Sea   un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos,   e   (no necesariamente de Hausdorff o localmente convexos). Para cada   se denota la órbita de   por

 

y sea   el conjunto de todos los  , cuya órbita   es un subconjunto acotado de   Si   es de segunda categoría (es decir, no exiguo) en  , entonces   y   son equicontinuos.

Cada subespacio vectorial propio de un EVT   tiene un interior vacío en  .[3]​ Entonces, en particular, cada subespacio vectorial propio que está cerrado no es denso en ninguna parte en  , y por lo tanto, de la primera categoría (exiguo) en   (y lo mismo también es cierto para todos sus subconjuntos). En consecuencia, cualquier subespacio vectorial de un EVT   que sea de segunda categoría (no exiguo) en   debe ser un subconjunto denso de   (ya que de lo contrario, su cierre en   sería un subespacio vectorial propio cerrado de  , y por lo tanto, de primera categoría).[3]

Demostración[2]
Demostración de que   es equicontinuo:

Sean   entornos equilibrados del origen en   que satisfacen  . Se debe demostrar que existe un entorno   del origen en   tal que   para cada  

Sea

 ,

que es un subconjunto cerrado de   (porque es una intersección de subconjuntos cerrados) que para cada   también satisface   y

 

(como se mostrará, el conjunto   es de hecho un entorno del origen en   porque el interior topológico de   en   no está vacío). Si  , entonces   está limitado en  , lo que implica que existe algún número entero   tal que  , por lo que si   entonces   Dado que   era arbitrario,

 

Esto prueba que

 

Debido a que   es de segunda categoría en  , lo mismo debe ser cierto para al menos uno de los conjuntos   para algún   La aplicación   definida por   es un homeomorfismo (sobreyectivo), por lo que el conjunto   es necesariamente de segunda categoría en  . Debido a que   está cerrado y es de segunda categoría en  , su interior en   no está vacío. Elíjase  . Debido a que la aplicación   definida por   es un homeomorfismo, el conjunto

 

es un entorno de   en  , lo que implica que lo mismo ocurre con su superconjunto   Y así, por cada  

 

Esto demuestra que   es equicontinuo. Q.E.D.


Demostración de que  :

Debido a que   es equicontinuo, si   está acotado en  , entonces   está acotado uniformemente en  . En particular, para cualquier  , dado que   es un subconjunto acotado de  ,   es un subconjunto uniformemente acotado de  . Por lo tanto,  . Q.E.D.

Secuencias de aplicaciones lineales continuas

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El siguiente teorema establece condiciones para que el límite puntual de una secuencia de aplicaciones lineales continuas sea en sí mismo continuo.

Teorema[4]

Supóngase que   es una secuencia de aplicaciones lineales continuas entre dos espacios vectoriales topológicos,   e  .

  1. Si el conjunto   de todos los   para los cuales   es una secuencia de Cauchy en   de segunda categoría en  , entonces  
  2. Si el conjunto   de todos los   en el que existe el límite   en   es de segunda categoría en   y si   es un espacio vectorial topológico metrizable completo (como un espacio de Fréchet o un espacio F), entonces   y   son una aplicación lineal continua.

Teorema[3]

Si   es una secuencia de aplicaciones lineales continuas desde un espacio F   a un espacio vectorial topológico de Hausdorff   tal que para cada   el límite

 

existe en  , entonces   es una aplicación lineal continua y las aplicaciones   son equicontinuas.

Si además el dominio es un espacio de Banach y el codominio es un espacio vectorial normado, entonces  

Dominio metrizable completo

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Dieudonné (1970) demostró una forma más débil de este teorema con un espacio de Fréchet en lugar de los habituales espacios de Banach.

Teorema[2]

Sea   un conjunto de operadores lineales continuos desde un espacio vectorial topológico metrizable completo   (como un espacio de Fréchet o un espacio F) a un espacio vectorial topológico de Hausdorff  . Si por cada  , la órbita

 

es un subconjunto acotado de  , entonces   es equicontinuo.

De esta manera, en particular, si   es también un espacio vectorial normado y si

 

entonces   es equicontinuo.

Véase también

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Referencias

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  1. Shtern, 2001.
  2. a b c d Rudin, 1991, pp. 42−47.
  3. a b c Rudin, 1991, p. 46.
  4. Rudin, 1991, pp. 45−46.

Bibliografía

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