Teorema de Stolz-Cesàro

En matemáticas, el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión. Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones. Este teorema puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro. Recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro.

Criterio de Stolz del cociente

Sean $\{a_{n}\}\$ y $\{b_{n}\}\$ dos sucesiones tales que:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ , $\{b_{n}\}\$ es monótona decreciente y $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$

o bien

$\{b_{n}\}\$ es monótona creciente y divergente a $+\infty \$ .
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lambda ,~\lambda \in \mathbb {R}$

Entonces, el límite:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda$

Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo ${\frac {\infty }{\infty }}$ .Otra forma de enunciación es la siguiente:

Sean $(a_{n})_{n\geq 1}$ y $(b_{n})_{n\geq 1}$ dos sucesiones de números reales. Asumiendo que $(b_{n})$ sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.

Entonces podemos asegurar que el límite

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}

existe y es igual a $l$ siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.

Criterio de Stolz de la raíz

Sean $\{a_{n}\}\$ y $\{b_{n}\}\$ dos sucesiones tales que,

$a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N}$
$b_{n}\$ es monótona creciente y divergente $(b_{n}>0,\forall n)$
$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R}$

Entonces,

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\lambda$

Forma general

La forma general del teorema de Stolz–Cesàro es la siguiente:^[1] Si $(a_{n})_{n\geq 1}$ y $(b_{n})_{n\geq 1}$ son dos sucesiones tales que $(b_{n})_{n\geq 1}$ es monótona y no acotada, entonces:

\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.

Ejemplos

Criterio del cociente

El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a $1/3$ de la sucesión dada por^[2]

$x_{n}={\frac {1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}}{n^{3}}}$

Para ello, se considera la sucesión del numerador, $a_{n}=1^{2}+2^{2}+\cdots n^{2}$ , y la del denominador, $b_{n}=n^{3}$ (es monótona creciente y divergente a $+\infty$ ). Por aplicación del criterio,