Seno hiperbólico

El seno hiperbólico es una función real de variable real $x$, que se designa con $\sinh(x)$ está definida mediante la siguiente ecuación:

Seno hiperbólico
Gráfica de Seno hiperbólico
Definición	$\sinh x\,$
Tipo	Función real
Dominio	$(-\infty ,+\infty )$
Codominio	$(-\infty ,+\infty )$
Imagen	$(-\infty ,+\infty )$
Propiedades	Biyectiva Elemental impar Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$\cosh x\,$
Función primitiva	$\cosh x\,$
Función inversa	$\operatorname {arcsinh} x$
Límites	$\lim _{x\to -\infty }\sinh x=-\infty \,$ $\lim _{x\to +\infty }\sinh x=+\infty \,$
Funciones relacionadas	Coseno hiperbólico Tangente hiperbólica

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

​

donde $e^{x}$ es la función exponencial. Esta función, junto con el coseno hiperbólico y la tangente hiperbólica, conforman unas identidades como las trigonométricas circulares, pero con algunas excepciones. Entre ellas:

${\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1\,$

$\tanh(x)={\frac {{\sinh }(x)}{\cosh(x)}}$

Su relación con el seno está dada por:

$\sin(x)=-i\sinh(ix)$

Propiedades

• Las funciones circulares seno y coseno están vinculadas con el círculo unitario de frontera x² + y² = 1, mediante la ecuación sen² α + cos²α =1; de igual manera, las hiperbólicas están vinculadas con la hipérbola x² - y² = 1, por medio de cosh² t -sinh² t = 1 donde t = 2 áreas de OCA, O = origen de coordenadas, A punto de la hipérbola, C vértice de la misma.​

• La función sinh(x) es una función impar, ya que para todo valor de x, se cumple que

$\sinh(-x)=-\sinh(x)$

• La función senh x es creciente, puesto que su derivada es mayor que 0, en todo su campo de definición.​
• El punto (0; 0) es punto de inflexión, pues la segunda derivada varía de signo al pasar la función de valores negativos a valores positivos. Además es cóncava hacia abajo para x <0; y convexa hacia arriba para x > 0.​

Derivadas

${{\mathrm {d} } \over {\mathrm {d} x}}{\sinh }(x)={\cosh }(x)$

${{\mathrm {d} } \over {\mathrm {d} x}}{\cosh }(x)={\sinh }(x)$

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica
• Función hiperbólica
• Coseno hiperbólico

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hyperbolic Sine». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1292101