Tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica de un número real $x$ se designa mediante $\tanh x$ y se define como el cociente entre el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico del número real $x$.​

tangente hiperbólica
Gráfica de tangente hiperbólica
Definición	$\tanh x\,$
Tipo	Función real
Dominio	$(-\infty ,+\infty )$
Codominio	$(-1,1)\,$
Imagen	$(-1,1)\,$
Propiedades	Biyectiva en el codominio Impar Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\frac {1}{\cosh ^{2}x}}$
Función primitiva	$\ln(\cosh x)\,$
Función inversa	$\operatorname {argtanh} x$
Límites	$\lim _{x\to -\infty }\tanh x=-1\,$ $\lim _{x\to +\infty }\tanh x=1\,$
Funciones relacionadas	Seno hiperbólico Coseno hiperbólico

La fórmula es entonces

$\tanh x={\cfrac {\sinh x}{\cosh x}}$

Si se sustituye de acuerdo con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:

$\tanh x={\cfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

Derivada

• ${\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}$

• ${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\,\mathrm {tanh} ^{2}x$

Inversa

${\mbox{arg tanh }}x=\ln \left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

Véase también

• Trigonometría

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hyperbolic Tangent». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1274703
• Multimedia: Hyperbolic tangent function / Q1274703